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APPLICATIONS DU CALCUL FONCTIONNEL
TS I.113
(remarque 6 de I, p. 3 et th. 1 de I, p. 24). Il existe alors une fonction
non nulle f ∈ C (Sp A (y)) telle que f | Sp A (π(y)) = 0 (TG, IX, p. 13,
prop. 3). Soit w = f (y) ∈ A. On a w = 0 puisque f = 0, mais
π(w) = π(f (y)) = f (π(y)) = 0 puisque f est nulle sur Sp A (π(y))
(prop. 8). Donc π n’est pas injective.
Traitons maintenant le cas général. Soient
A et
A les algèbres stellaires déduites de A et de A respectivement par adjonction d’un élément unité (déf. 4 de I, p. 106). Il existe un unique morphisme unifère
d’algèbres involutives
π :
A →
A prolongeant π. Ce morphisme est
injectif, donc est isométrique d’après ce qui précède. Pour tout x ∈ A,
on a alors π(x) = π(x) = x.
Lemme 11. — Soit X un espace topologique complètement régulier,
c’est-à-dire uniformisable et séparé (TG, IX, p. 8, déf. 4), contenant
au moins deux points. Il existe des fonctions continues non nulles f
et g dans C (X) telles que f g = 0.
Soient x = y des points distincts de X. Soient U et V des voisinages ouverts de x et y, respectivement, tels que U et V sont disjoints.
Puisque X est uniformisable, d’après TG, IX, p. 7, th. 2, il existe une
fonction f ∈ C (X) telle que f (x) = 1 et f |X U = 0. De même, il
existe g ∈ C (X) telle que g(y) = 1 et g|X V = 0. On a alors f g = 0.
Proposition 10. — Soit A une algèbre stellaire unifère. On suppose
que pour tout couple (x, y) d’éléments permutables de A, la condition
xy = 0 implique que x = 0 ou y = 0. Alors A = C · 1.
Si A n’est pas égale à C · 1, il existe un élément hermitien x dans A
qui n’appartient pas à C·1 (lemme 2 de I, p. 96). Soit B la sous-algèbre
stellaire unifère de A engendrée par x. Elle est commutative, et isomorphe à C (Sp A (x)) (I, p. 110, remarque). Comme x n’est pas scalaire,
son spectre dans B n’est pas réduit à un seul élément (exemple 1 de I,
p. 110). Il existe donc des fonctions continues et non nulles f et g sur
Sp A (x) telles que f g = 0 (lemme 11). Les éléments f (x) et g(x) de A
sont non nuls, permutables, et vérifient f (x)g(x) = 0 dans A.
Proposition 11. — Soient A une algèbre stellaire unifère, a, x et y
des éléments de A. On suppose que x et y sont normaux. Si xa =
ay, alors on a f (x)a = af (y) pour toute fonction f continue dans
la réunion du spectre de x et du spectre de y. En particulier, on a
f (aa ∗ )a = af (a ∗ a) pour toute fonction f ∈ C (Sp
(a ∗ a)).
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APPLICATIONS DU CALCUL FONCTIONNEL
TS I.113
(remarque 6 de I, p. 3 et th. 1 de I, p. 24). Il existe alors une fonction
non nulle f ∈ C (Sp A (y)) telle que f | Sp A (π(y)) = 0 (TG, IX, p. 13,
prop. 3). Soit w = f (y) ∈ A. On a w = 0 puisque f = 0, mais
π(w) = π(f (y)) = f (π(y)) = 0 puisque f est nulle sur Sp A (π(y))
(prop. 8). Donc π n’est pas injective.
Traitons maintenant le cas général. Soient
A et
A les algèbres stellaires déduites de A et de A respectivement par adjonction d’un élément unité (déf. 4 de I, p. 106). Il existe un unique morphisme unifère
d’algèbres involutives
π :
A →
A prolongeant π. Ce morphisme est
injectif, donc est isométrique d’après ce qui précède. Pour tout x ∈ A,
on a alors π(x) = π(x) = x.
Lemme 11. — Soit X un espace topologique complètement régulier,
c’est-à-dire uniformisable et séparé (TG, IX, p. 8, déf. 4), contenant
au moins deux points. Il existe des fonctions continues non nulles f
et g dans C (X) telles que f g = 0.
Soient x = y des points distincts de X. Soient U et V des voisinages ouverts de x et y, respectivement, tels que U et V sont disjoints.
Puisque X est uniformisable, d’après TG, IX, p. 7, th. 2, il existe une
fonction f ∈ C (X) telle que f (x) = 1 et f |X U = 0. De même, il
existe g ∈ C (X) telle que g(y) = 1 et g|X V = 0. On a alors f g = 0.
Proposition 10. — Soit A une algèbre stellaire unifère. On suppose
que pour tout couple (x, y) d’éléments permutables de A, la condition
xy = 0 implique que x = 0 ou y = 0. Alors A = C · 1.
Si A n’est pas égale à C · 1, il existe un élément hermitien x dans A
qui n’appartient pas à C·1 (lemme 2 de I, p. 96). Soit B la sous-algèbre
stellaire unifère de A engendrée par x. Elle est commutative, et isomorphe à C (Sp A (x)) (I, p. 110, remarque). Comme x n’est pas scalaire,
son spectre dans B n’est pas réduit à un seul élément (exemple 1 de I,
p. 110). Il existe donc des fonctions continues et non nulles f et g sur
Sp A (x) telles que f g = 0 (lemme 11). Les éléments f (x) et g(x) de A
sont non nuls, permutables, et vérifient f (x)g(x) = 0 dans A.
Proposition 11. — Soient A une algèbre stellaire unifère, a, x et y
des éléments de A. On suppose que x et y sont normaux. Si xa =
ay, alors on a f (x)a = af (y) pour toute fonction f continue dans
la réunion du spectre de x et du spectre de y. En particulier, on a
f (aa ∗ )a = af (a ∗ a) pour toute fonction f ∈ C (Sp
(a ∗ a)).