TS I.114
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Soit S = Sp(x) ∪ Sp(y). La proposition 6 de I, p. 106 implique
que x ∗ a = ay ∗ . Par conséquent, il vient f (x)a = af (y) pour toute
fonction f qui est de la forme z → P(z, z), où P ∈ C[X, Y] est un
polynôme. Puisque l’ensemble des fonctions f ∈ C (S) vérifiant f (x)a =
af (y) est une sous-algèbre fermée de C (S), elle coïncide avec C (S)
d’après TG, X, p. 40, cor. 1.
La seconde assertion est une conséquence de la première, appliquée
aux éléments hermitiens x = aa ∗ et y = a ∗ a, compte tenu du fait que
Sp
(a ∗ a) = Sp
(aa ∗ ) (prop. 1 de I, p. 5).
8. Calcul fonctionnel dans une algèbre non unifère
Soit A une algèbre stellaire et soit
A l’algèbre stellaire unifère déduite de A par adjonction d’un élément unité e. Notons π le caractère
hermitien x + λe → λ de
A dans C ; on a Ker(π) = A.
Soit x ∈ A un élément normal. Il est normal dans
A et Sp
A
(x) =
Sp
A (x). Notons C (Sp
A (x)) l’algèbre stellaire des fonctions continues f
sur Sp
A (x) telles que f (0) = 0.
Soit f ∈ C (Sp
A (x)). Comme π(f (x)) = f (π(x)) (prop. 8 de I,
p. 112), on a f (x) ∈ A si et seulement si f (0) = 0. L’application
f → f (x) définit un morphisme d’algèbres involutives de l’algèbre
stellaire C (Sp
A (x)) dans A pour lequel l’image de l’application identique z de Sp
A (x) est x. Ce morphisme est isométrique et son image
est la sous-algèbre stellaire de A engendrée par x.
Proposition 12. — L’application f → f (x) est l’unique morphisme
d’algèbres involutives de l’algèbre stellaire C (Sp
A (x)) dans A tel que
l’application identique z de Sp
A (x) ait pour image x.
Les éléments z et z de C (Sp
A (x)) engendrent une sous-algèbre dense
de C (Sp
A (x)) (cf. TG, X, p. 40, cor. 2). Puisque tout morphisme
d’algèbres involutives de l’algèbre stellaire C (Sp
A (x)) dans l’algèbre
stellaire A est continu (I, p. 104, prop. 2), le résultat en découle.
Les résultats du numéro précédent concernant le calcul fonctionnel
s’étendent au cas général. Nous les énoncerons simplement et laisserons
aux lecteurs le soin de compléter les démonstrations, mutatis mutandis.
Proposition 13. — On a les propriétés suivantes :
a) Pour tout f ∈ C (Sp
A (x)), on a Sp
A (f (x)) = f (Sp
A (x)) ;
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Soit S = Sp(x) ∪ Sp(y). La proposition 6 de I, p. 106 implique
que x ∗ a = ay ∗ . Par conséquent, il vient f (x)a = af (y) pour toute
fonction f qui est de la forme z → P(z, z), où P ∈ C[X, Y] est un
polynôme. Puisque l’ensemble des fonctions f ∈ C (S) vérifiant f (x)a =
af (y) est une sous-algèbre fermée de C (S), elle coïncide avec C (S)
d’après TG, X, p. 40, cor. 1.
La seconde assertion est une conséquence de la première, appliquée
aux éléments hermitiens x = aa ∗ et y = a ∗ a, compte tenu du fait que
Sp
(a ∗ a) = Sp
(aa ∗ ) (prop. 1 de I, p. 5).
8. Calcul fonctionnel dans une algèbre non unifère
Soit A une algèbre stellaire et soit
A l’algèbre stellaire unifère déduite de A par adjonction d’un élément unité e. Notons π le caractère
hermitien x + λe → λ de
A dans C ; on a Ker(π) = A.
Soit x ∈ A un élément normal. Il est normal dans
A et Sp
A
(x) =
Sp
A (x). Notons C (Sp
A (x)) l’algèbre stellaire des fonctions continues f
sur Sp
A (x) telles que f (0) = 0.
Soit f ∈ C (Sp
A (x)). Comme π(f (x)) = f (π(x)) (prop. 8 de I,
p. 112), on a f (x) ∈ A si et seulement si f (0) = 0. L’application
f → f (x) définit un morphisme d’algèbres involutives de l’algèbre
stellaire C (Sp
A (x)) dans A pour lequel l’image de l’application identique z de Sp
A (x) est x. Ce morphisme est isométrique et son image
est la sous-algèbre stellaire de A engendrée par x.
Proposition 12. — L’application f → f (x) est l’unique morphisme
d’algèbres involutives de l’algèbre stellaire C (Sp
A (x)) dans A tel que
l’application identique z de Sp
A (x) ait pour image x.
Les éléments z et z de C (Sp
A (x)) engendrent une sous-algèbre dense
de C (Sp
A (x)) (cf. TG, X, p. 40, cor. 2). Puisque tout morphisme
d’algèbres involutives de l’algèbre stellaire C (Sp
A (x)) dans l’algèbre
stellaire A est continu (I, p. 104, prop. 2), le résultat en découle.
Les résultats du numéro précédent concernant le calcul fonctionnel
s’étendent au cas général. Nous les énoncerons simplement et laisserons
aux lecteurs le soin de compléter les démonstrations, mutatis mutandis.
Proposition 13. — On a les propriétés suivantes :
a) Pour tout f ∈ C (Sp
A (x)), on a Sp
A (f (x)) = f (Sp
A (x)) ;