N
o 9 ÉLÉMENTS POSITIFS DANS LES ALGÈBRES STELLAIRES TS I.115
b) Pour tout f ∈ C (Sp
A (x)) et pour tout g ∈ C (Sp
A (f (x))), on a
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) ;
c) Soit A une algèbre stellaire et soit π un morphisme de A
dans A ; alors π(x) est normal dans A , on a Sp
A (π(x)) ⊂ Sp
A (x) et
π(f (x)) = f (π(x)) pour tout f ∈ C (Sp
A (x)) ;
d) Si A est commutative, et si f ∈ C (Sp
A (x)), alors G
A (f (x)) =
f ◦ G
A (x).
Remarque. — Soit A une algèbre stellaire unifère et soit
A l’algèbre
stellaire unifère déduite de A par adjonction d’un élément unité e.
Pour tout x ∈ A, on a Sp
A (x) = Sp A (x) ∪ {0}. Soit x un élément
normal de A. C’est alors un élément normal de
A et l’on dispose donc
de deux applications de calcul fonctionnel dans A, la première définie
sur C (Sp A (x)) et la seconde sur C (Sp
A (x)). Soit f ∈ C (Sp
A (x)) ; si
l’on note f sa restriction à Sp A (x), on a alors f (x) = f (x).
9. Éléments positifs dans les algèbres stellaires
Définition 6. — Soit A une algèbre stellaire. Un élément x de A est
dit positif s’il est hermitien et si Sp
A (x) ⊂ R + . On note A + l’ensemble
des éléments positifs de A. C’est un sous-ensemble de A h .
On note x y si x − y ∈ A + .
Si l’algèbre stellaire A est unifère, son élément unité est positif.
Si B est une sous-algèbre stellaire de A, on a B + = B ∩ A + (cor. de
la prop. 5 de I, p. 106).
Si π : A → B est un morphisme d’algèbres stellaires, alors
π(A + ) ⊂ B + .
Exemples. — 1) Soit X un espace localement compact. Dans l’algèbre
stellaire C 0 (X) des fonctions continues sur X et tendant vers 0 à l’infini,
resp. dans l’algèbre stellaire C b (X) des fonctions continues bornées
sur X, une fonction f est un élément positif si et seulement si elle
est à valeurs réelles et si f (x) 0 pour tout x ∈ X (cf. exemple 3 de
I, p. 17).
2) Soit A une algèbre stellaire commutative. Soit a dans A. Puisque
Sp
A (x) est la réunion de {0} et de l’image de la transformée de Gelfand
G (a) (prop. 6 de I, p. 37), l’élément a est positif si, et seulement si, la
transformée de Gelfand G (a) est une fonction positive.
o 9 ÉLÉMENTS POSITIFS DANS LES ALGÈBRES STELLAIRES TS I.115
b) Pour tout f ∈ C (Sp
A (x)) et pour tout g ∈ C (Sp
A (f (x))), on a
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) ;
c) Soit A une algèbre stellaire et soit π un morphisme de A
dans A ; alors π(x) est normal dans A , on a Sp
A (π(x)) ⊂ Sp
A (x) et
π(f (x)) = f (π(x)) pour tout f ∈ C (Sp
A (x)) ;
d) Si A est commutative, et si f ∈ C (Sp
A (x)), alors G
A (f (x)) =
f ◦ G
A (x).
Remarque. — Soit A une algèbre stellaire unifère et soit
A l’algèbre
stellaire unifère déduite de A par adjonction d’un élément unité e.
Pour tout x ∈ A, on a Sp
A (x) = Sp A (x) ∪ {0}. Soit x un élément
normal de A. C’est alors un élément normal de
A et l’on dispose donc
de deux applications de calcul fonctionnel dans A, la première définie
sur C (Sp A (x)) et la seconde sur C (Sp
A (x)). Soit f ∈ C (Sp
A (x)) ; si
l’on note f sa restriction à Sp A (x), on a alors f (x) = f (x).
9. Éléments positifs dans les algèbres stellaires
Définition 6. — Soit A une algèbre stellaire. Un élément x de A est
dit positif s’il est hermitien et si Sp
A (x) ⊂ R + . On note A + l’ensemble
des éléments positifs de A. C’est un sous-ensemble de A h .
On note x y si x − y ∈ A + .
Si l’algèbre stellaire A est unifère, son élément unité est positif.
Si B est une sous-algèbre stellaire de A, on a B + = B ∩ A + (cor. de
la prop. 5 de I, p. 106).
Si π : A → B est un morphisme d’algèbres stellaires, alors
π(A + ) ⊂ B + .
Exemples. — 1) Soit X un espace localement compact. Dans l’algèbre
stellaire C 0 (X) des fonctions continues sur X et tendant vers 0 à l’infini,
resp. dans l’algèbre stellaire C b (X) des fonctions continues bornées
sur X, une fonction f est un élément positif si et seulement si elle
est à valeurs réelles et si f (x) 0 pour tout x ∈ X (cf. exemple 3 de
I, p. 17).
2) Soit A une algèbre stellaire commutative. Soit a dans A. Puisque
Sp
A (x) est la réunion de {0} et de l’image de la transformée de Gelfand
G (a) (prop. 6 de I, p. 37), l’élément a est positif si, et seulement si, la
transformée de Gelfand G (a) est une fonction positive.