TS I.116
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
3) Soit E un espace hilbertien complexe. Un élément x de l’algèbre
stellaire L (E) (exemple 1 de I, p. 102) est positif si et seulement si
c’est un endomorphisme positif de E au sens de EVT, V, p. 45, déf. 6
(prop. 8 de I, p. 138).
Lemme 12. — Soit A une algèbre stellaire unifère et soit x ∈ A un
élément hermitien.
a) L’élément x est positif si et seulement si x · 1 − x x ;
b) Si x 1, alors x est positif si et seulement si 1 − x 1 ;
c) Si x est positif, alors 1 − x est positif si et seulement si x 1 ;
d) Si x est positif et si y ∈ A + est permutable à x, alors xy est
positif.
L’élément x est hermitien, donc normal. En considérant la sousalgèbre stellaire engendrée par x, qui est commutative, on se ramène
au cas où l’algèbre A est commutative, c’est-à-dire au cas où A =
C 0 (X) pour un espace topologique localement compact X (th. 1 de I,
p. 108). Les trois premières assertions découlent alors immédiatement
de l’exemple 1 ci-dessus. De même, pour montrer l’assertion d), on
peut considérer la sous-algèbre stellaire engendrée par x et y, qui est
commutative.
Proposition 14. — Soit A une algèbre stellaire. L’ensemble A + est
un cône convexe fermé pointé saillant dans l’espace de Banach réel A h
(EVT, II, p. 11).
Soit
A l’algèbre stellaire déduite de A par adjonction d’un élément
unité. Puisque A + = A ∩
A + , il suffit de démontrer la proposition
pour
A. On peut donc supposer que A possède un élément unité.
On a 0 ∈ A + . Pour tout λ ∈ R ∗
+ et tout x ∈ A, on a Sp
A (λx) =
λ Sp
A (x), ce qui implique que A + est un cône dans l’espace de Banach
réel A h .
Pour montrer que A + est convexe, il suffit de montrer que si x et y
sont positifs, alors x+y 0 (EVT, II, p. 11, prop. 10). Par homothétie,
il suffit de démontrer que si x 0 et y 0 vérifient de plus x 1,
y 1, alors l’élément
1
2 (x + y) est positif. Or on a
1 −
1
2
(x + y)
1
2
1 − x +
1
2
1 − y 1
d’après l’assertion b) du lemme 12, et cette même assertion montre
alors que
1
2 (x + y) est positif.