N
o 9 ÉLÉMENTS POSITIFS DANS LES ALGÈBRES STELLAIRES TS I.117
Enfin, l’assertion a) du lemme 12 implique également que A + est
fermé.
Puisque A + est un cône pointé dans A h , il est saillant si et seulement
si A + ∩ (−A + ) est réduit à 0. Mais si x ∈ A + ∩ (−A + ), on a Sp
A (x) =
{0}, donc (x) = 0, et x = 0 comme x est hermitien (lemme 7, (2)
de I, p. 104), d’où x = 0.
La proposition 14 signifie que la relation « x y » est une relation
d’ordre sur A h (EVT, II, p. 13, prop. 13).
Proposition 15. — Soit A une algèbre stellaire. Soit x un élément
normal de A.
a) Supposons que A soit unifère et soit f une fonction continue
de Sp A (x) dans C. Pour que f (x) soit positif, il faut et il suffit que
l’image de f soit contenue dans R + ;
b) Soit f une fonction continue de Sp
A (x) dans C telle que f (0) =
0. Pour que f (x) soit un élément positif de A, il faut et il suffit que
l’image de f soit contenue dans R + .
L’assertion a) découle de l’assertion a) du cor. 2 de I, p. 111, et
l’assertion b) découle de la prop. 13 de I, p. 114.
Soit x un élément hermitien de l’algèbre stellaire A. Son spectre
est contenu dans R (prop. 4 de I, p. 106). Considérons les fonctions
continues de Sp
A (x) dans R définies par
f 1 : t → sup(t, 0), f 2 : t → sup(−t, 0), f 3 : t → |t|.
On note
(3)
x
+ = f 1 (x), x
− = f 2 (x), |x| = f 3 (x).
Comme les fonctions f 1 , f 2 , f 3 sont à valeurs réelles positives et s’annulent en 0, les éléments x + , x − et |x| sont des éléments positifs de A
(prop. 15, a)) qui appartiennent à la sous-algèbre stellaire de A engendrée par x.
On a f 1 (t) − f 2 (t) = t pour tout t ∈ R, ainsi que les relations
f 1 + f 2 = f 3 et f 1 f 2 = 0. Il en découle les relations :
(4)
x = x
+ − x
− , |x| = x
+ + x
− , x
+ x
− = x
− x
+ = 0.
Comme l’application de calcul fonctionnel est isométrique, on a
|x| | = x, x
+ x, x
− x.
o 9 ÉLÉMENTS POSITIFS DANS LES ALGÈBRES STELLAIRES TS I.117
Enfin, l’assertion a) du lemme 12 implique également que A + est
fermé.
Puisque A + est un cône pointé dans A h , il est saillant si et seulement
si A + ∩ (−A + ) est réduit à 0. Mais si x ∈ A + ∩ (−A + ), on a Sp
A (x) =
{0}, donc (x) = 0, et x = 0 comme x est hermitien (lemme 7, (2)
de I, p. 104), d’où x = 0.
La proposition 14 signifie que la relation « x y » est une relation
d’ordre sur A h (EVT, II, p. 13, prop. 13).
Proposition 15. — Soit A une algèbre stellaire. Soit x un élément
normal de A.
a) Supposons que A soit unifère et soit f une fonction continue
de Sp A (x) dans C. Pour que f (x) soit positif, il faut et il suffit que
l’image de f soit contenue dans R + ;
b) Soit f une fonction continue de Sp
A (x) dans C telle que f (0) =
0. Pour que f (x) soit un élément positif de A, il faut et il suffit que
l’image de f soit contenue dans R + .
L’assertion a) découle de l’assertion a) du cor. 2 de I, p. 111, et
l’assertion b) découle de la prop. 13 de I, p. 114.
Soit x un élément hermitien de l’algèbre stellaire A. Son spectre
est contenu dans R (prop. 4 de I, p. 106). Considérons les fonctions
continues de Sp
A (x) dans R définies par
f 1 : t → sup(t, 0), f 2 : t → sup(−t, 0), f 3 : t → |t|.
On note
(3)
x
+ = f 1 (x), x
− = f 2 (x), |x| = f 3 (x).
Comme les fonctions f 1 , f 2 , f 3 sont à valeurs réelles positives et s’annulent en 0, les éléments x + , x − et |x| sont des éléments positifs de A
(prop. 15, a)) qui appartiennent à la sous-algèbre stellaire de A engendrée par x.
On a f 1 (t) − f 2 (t) = t pour tout t ∈ R, ainsi que les relations
f 1 + f 2 = f 3 et f 1 f 2 = 0. Il en découle les relations :
(4)
x = x
+ − x
− , |x| = x
+ + x
− , x
+ x
− = x
− x
+ = 0.
Comme l’application de calcul fonctionnel est isométrique, on a
|x| | = x, x
+ x, x
− x.