TS I.118
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Soit x un élément positif de A. Il est hermitien, donc normal. Soit
α ∈ R ∗
+ , et soit g la restriction à Sp
A (x) de la fonction t → t α ; on
note x α = g(x). C’est un élément positif de la sous-algèbre stellaire
de A engendrée par x. Soient α et β dans R ∗
+ . Comme l’application de
calcul fonctionnel est un morphisme d’algèbres, et d’après la prop. 13
de I, p. 114, on a
(5)
x
α x
β = x
α+β
(x
α )
β = x
αβ .
On écrira aussi
√
x = x 1/2 .
Proposition 16. — Soit x un élément positif de A. Soit α ∈ R ∗
+ .
Alors x 1/α est l’unique élément positif y de A tel que y α = x.
On a vu ci-dessus que x 1/α vérifie les propriétés demandées. Inversement, soit y un élément positif de A tel que y α = x. D’après la
formule (5), on a y = (y α ) 1/α = x 1/α , ce qu’il fallait démontrer.
Lemme 13. — Soit A une algèbre stellaire unifère. Tout élément de A
est somme d’éléments unitaires.
Soit x un élément hermitien de A. Supposons d’abord que x 2.
D’après le lemme 12, c), on a 1 −
1
4 x 2 ∈ A + . Soit y =
1
2 x + i
1 −
1
4 x 2 .
On a y ∗ =
1
2 x − i
1 −
1
4 x 2 , donc yy ∗ = 1 et x = y + y ∗ est somme
de deux éléments unitaires. Dans le cas général, soit k un entier tel
que
1
k x 2 ; l’élément x est alors somme de 2k éléments unitaires.
D’après le lemme 2 de I, p. 96, le lemme en résulte.
Théorème 2. — Soit A une algèbre stellaire. Un élément x de A est
positif si et seulement s’il existe y ∈ A tel que x = y ∗ y.
Supposons que x soit positif. Soit y = x 1/2 ; c’est un élément hermitien de A et on a y ∗ y = y 2 = x.
Réciproquement, soit y un élément de A et posons x = y ∗ y. C’est
un élément hermitien de A. Montrons que x est positif. Notons pour
cela z = x − et posons w = yz. On a alors
w
∗ w = z
∗ y
∗ yz = zxz = z(x
+ − z)z = −z
3 .
Comme z 0, on a z 3 0, et on en déduit que Sp
A (w ∗ w) ⊂ R − . Écrivons par ailleurs w = w 1 + iw 2 où w 1 et w 2 sont hermitiens (lemme 2
de I, p. 96). Les éléments w 2
1 et w 2
2 sont positifs. On a ww ∗ + w ∗ w =
2w 2
1 + 2w 2
2 , et la prop. 14 montre donc que ww ∗ = 2w 2
1 + 2w 2
2 + (−w ∗ w)
est positif. Comme Sp
A (ww ∗ ) = Sp
A (w ∗ w) (I, p. 5, prop. 1), qui est
contenu dans R − , on conclut que Sp
A (w ∗ w) = {0}. Puisque w ∗ w est
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Soit x un élément positif de A. Il est hermitien, donc normal. Soit
α ∈ R ∗
+ , et soit g la restriction à Sp
A (x) de la fonction t → t α ; on
note x α = g(x). C’est un élément positif de la sous-algèbre stellaire
de A engendrée par x. Soient α et β dans R ∗
+ . Comme l’application de
calcul fonctionnel est un morphisme d’algèbres, et d’après la prop. 13
de I, p. 114, on a
(5)
x
α x
β = x
α+β
(x
α )
β = x
αβ .
On écrira aussi
√
x = x 1/2 .
Proposition 16. — Soit x un élément positif de A. Soit α ∈ R ∗
+ .
Alors x 1/α est l’unique élément positif y de A tel que y α = x.
On a vu ci-dessus que x 1/α vérifie les propriétés demandées. Inversement, soit y un élément positif de A tel que y α = x. D’après la
formule (5), on a y = (y α ) 1/α = x 1/α , ce qu’il fallait démontrer.
Lemme 13. — Soit A une algèbre stellaire unifère. Tout élément de A
est somme d’éléments unitaires.
Soit x un élément hermitien de A. Supposons d’abord que x 2.
D’après le lemme 12, c), on a 1 −
1
4 x 2 ∈ A + . Soit y =
1
2 x + i
1 −
1
4 x 2 .
On a y ∗ =
1
2 x − i
1 −
1
4 x 2 , donc yy ∗ = 1 et x = y + y ∗ est somme
de deux éléments unitaires. Dans le cas général, soit k un entier tel
que
1
k x 2 ; l’élément x est alors somme de 2k éléments unitaires.
D’après le lemme 2 de I, p. 96, le lemme en résulte.
Théorème 2. — Soit A une algèbre stellaire. Un élément x de A est
positif si et seulement s’il existe y ∈ A tel que x = y ∗ y.
Supposons que x soit positif. Soit y = x 1/2 ; c’est un élément hermitien de A et on a y ∗ y = y 2 = x.
Réciproquement, soit y un élément de A et posons x = y ∗ y. C’est
un élément hermitien de A. Montrons que x est positif. Notons pour
cela z = x − et posons w = yz. On a alors
w
∗ w = z
∗ y
∗ yz = zxz = z(x
+ − z)z = −z
3 .
Comme z 0, on a z 3 0, et on en déduit que Sp
A (w ∗ w) ⊂ R − . Écrivons par ailleurs w = w 1 + iw 2 où w 1 et w 2 sont hermitiens (lemme 2
de I, p. 96). Les éléments w 2
1 et w 2
2 sont positifs. On a ww ∗ + w ∗ w =
2w 2
1 + 2w 2
2 , et la prop. 14 montre donc que ww ∗ = 2w 2
1 + 2w 2
2 + (−w ∗ w)
est positif. Comme Sp
A (ww ∗ ) = Sp
A (w ∗ w) (I, p. 5, prop. 1), qui est
contenu dans R − , on conclut que Sp
A (w ∗ w) = {0}. Puisque w ∗ w est