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o 9 ÉLÉMENTS POSITIFS DANS LES ALGÈBRES STELLAIRES TS I.119
hermitien, cela implique (cor. 1 de I, p. 108) que w ∗ w = (w ∗ w) = 0,
donc que z 3 = 0. Puisque z est hermitien, on a z = 0. Ainsi, x = x +
est positif.
Remarque. — Soit A une algèbre stellaire et soit x ∈ A. L’élément x ∗ x
de A est positif ; on pose alors |x| = (x ∗ x) 1/2 . On a x 2 = x ∗ x =
|x| 2 = |x|| 2 , donc x = |x||.
Lorsque x est normal, on a également |x| = f (x), où f est l’application de C dans C, nulle en 0, donnée par f (z) = |z|. En particulier,
lorsque x est hermitien, |x| coïncide avec l’élément défini par la formule (3).
Supposons de plus que A soit unifère et que x soit inversible. Alors
|x| est également inversible, l’élément u = x|x| −1 est unitaire et l’on a
x = u|x| (« décomposition polaire » ; voir aussi I, p. 139, n
o 8 pour le
cas des endomorphismes des espaces hilbertiens).
Lemme 14. — Soit A une algèbre stellaire, et soient x et y des éléments hermitiens de A.
a) Si x y, alors pour tout élément w de A, on a w ∗ xw w ∗ yw.
En particulier, si y 0, on a w ∗ yw 0 ;
b) Supposons que A est unifère. Si 0 x y et si x est inversible,
alors y est inversible et y −1 x −1 ;
c) Si 0 x y alors x y.
Soit u = (y − x) 1/2 . On a w ∗ yw − w ∗ xw = w ∗ u 2 w = (uw) ∗ (uw), et
l’assertion a) résulte du th. 2.
Démontrons l’assertion b). Supposons d’abord que x = 1. Soit B
la sous-algèbre stellaire unifère engendrée par y. Par l’isomorphisme
de Gelfand, y correspond à une fonction continue 1 sur l’espace
compact X(B). Cette fonction est donc inversible et son inverse est
1. Ceci implique que y est inversible et y −1 1 = x −1 . Dans le
cas général, on observe que 0 1 x −1/2 yx −1/2 d’après a), donc le
cas précédent implique que z = x −1/2 yx −1/2 est inversible et z −1 1.
Ainsi, y est inversible et y −1 x −1 d’après a) encore.
Pour démontrer l’assertion c), on peut supposer que A est unifère
(prop. 3 de I, p. 105). Supposons d’abord que y est inversible. Notons
b =
√ y. D’après a), les conditions 0 x y impliquent 0 b −1 xb −1
b −1 yb −1 = 1, donc b −1 xb −1 1 par le lemme 12, c) de I, p. 116. On
a alors
x = b(b
−1 xb
−1 )b bb
−1 xb
−1 b b
2 = b
2 = y.
o 9 ÉLÉMENTS POSITIFS DANS LES ALGÈBRES STELLAIRES TS I.119
hermitien, cela implique (cor. 1 de I, p. 108) que w ∗ w = (w ∗ w) = 0,
donc que z 3 = 0. Puisque z est hermitien, on a z = 0. Ainsi, x = x +
est positif.
Remarque. — Soit A une algèbre stellaire et soit x ∈ A. L’élément x ∗ x
de A est positif ; on pose alors |x| = (x ∗ x) 1/2 . On a x 2 = x ∗ x =
|x| 2 = |x|| 2 , donc x = |x||.
Lorsque x est normal, on a également |x| = f (x), où f est l’application de C dans C, nulle en 0, donnée par f (z) = |z|. En particulier,
lorsque x est hermitien, |x| coïncide avec l’élément défini par la formule (3).
Supposons de plus que A soit unifère et que x soit inversible. Alors
|x| est également inversible, l’élément u = x|x| −1 est unitaire et l’on a
x = u|x| (« décomposition polaire » ; voir aussi I, p. 139, n
o 8 pour le
cas des endomorphismes des espaces hilbertiens).
Lemme 14. — Soit A une algèbre stellaire, et soient x et y des éléments hermitiens de A.
a) Si x y, alors pour tout élément w de A, on a w ∗ xw w ∗ yw.
En particulier, si y 0, on a w ∗ yw 0 ;
b) Supposons que A est unifère. Si 0 x y et si x est inversible,
alors y est inversible et y −1 x −1 ;
c) Si 0 x y alors x y.
Soit u = (y − x) 1/2 . On a w ∗ yw − w ∗ xw = w ∗ u 2 w = (uw) ∗ (uw), et
l’assertion a) résulte du th. 2.
Démontrons l’assertion b). Supposons d’abord que x = 1. Soit B
la sous-algèbre stellaire unifère engendrée par y. Par l’isomorphisme
de Gelfand, y correspond à une fonction continue 1 sur l’espace
compact X(B). Cette fonction est donc inversible et son inverse est
1. Ceci implique que y est inversible et y −1 1 = x −1 . Dans le
cas général, on observe que 0 1 x −1/2 yx −1/2 d’après a), donc le
cas précédent implique que z = x −1/2 yx −1/2 est inversible et z −1 1.
Ainsi, y est inversible et y −1 x −1 d’après a) encore.
Pour démontrer l’assertion c), on peut supposer que A est unifère
(prop. 3 de I, p. 105). Supposons d’abord que y est inversible. Notons
b =
√ y. D’après a), les conditions 0 x y impliquent 0 b −1 xb −1
b −1 yb −1 = 1, donc b −1 xb −1 1 par le lemme 12, c) de I, p. 116. On
a alors
x = b(b
−1 xb
−1 )b bb
−1 xb
−1 b b
2 = b
2 = y.