TS I.120
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Dans le cas général, pour tout réel ε > 0, l’élément y + ε est inversible
et 0 x y + ε. D’après ce qui précède, on a donc x y + ε
pour tout nombre réel ε > 0, d’où le résultat.
Remarque. — En général, si x et y sont des éléments positifs d’une
algèbre stellaire A, la condition 0 x y n’implique pas x 2 y 2 (cf.
exercice 15 de I, p. 182).
10. Unités approchées dans les algèbres stellaires
Définition 7. — Soit A une algèbre normée. Une unité approchée
de A est une base de filtre F sur la boule unité de A telle que, pour
tout x dans A, les bases de filtre xF et Fx sur A convergent vers x,
autrement dit :
lim
f,F
f x = lim
f,F
xf = x.
Si A est une algèbre stellaire, une unité approchée F est dite croissante si F est une base de filtre sur A + .
Soit A une algèbre stellaire. On note A
1
+ (resp. A
<1
+ ) l’ensemble des
éléments positifs de A de norme 1 (resp. de norme < 1) ; ce sont les
éléments hermitiens de A dont le spectre est contenu dans [0, 1] (resp.
dans [0, 1[).
Proposition 17. — Soit A une algèbre stellaire, soit F une base de
filtre sur A
1
+ . Pour que F soit une unité approchée croissante de A, il
faut et il suffit que l’on ait
lim
f,F
f x = x
pour tout élément positif x de A.
La condition est évidemment nécessaire ; démontrons qu’elle est suffisante. Soit
A l’algèbre stellaire déduite de A par adjonction d’un
élément unité. Soit x un élément de A et soit f ∈ A
1
+ . On a
f x − x
2 = (f x − x)(f x − x)
∗ = (f − 1)xx
∗ (f − 1)
(f − 1)xx
∗
car f − 1 1 (lemme 12, c) de I, p. 116). On a donc
lim sup
f,F
f x − x
2 lim sup
f,F
f xx
∗ − xx
∗ .