N
o 10 UNITÉS APPROCHÉES DANS LES ALGÈBRES STELLAIRES TS I.121
Comme xx ∗ est positif (th. 2 de I, p. 118), l’hypothèse implique que
lim sup
f,F
f x − x
2 xx
∗ − xx
∗ = 0,
de sorte que
lim
f,F
f x = x.
Comme l’involution de A est continue et comme F est une base de
filtre sur A h , il vient
lim
f,F
xf = lim
f,F
(f
∗ x
∗ )
∗ = lim
f,F
(f x
∗ )
∗ = (x
∗ )
∗ = x.
La proposition en résulte.
Proposition 18. — Soit A une algèbre stellaire. L’ensemble ordonné A
<1
+ est filtrant à droite (E, III, p. 12, déf. 7) et le filtre de ses
sections (TG, I, p. 38, exemple 2) est une unité approchée croissante
de A.
Soit
A l’algèbre stellaire déduite de A par adjonction d’un élément
unité noté 1 (déf. 4 de I, p. 106).
Soit g la fonction de [0, 1[ dans R + définie par g(t) = t(1 − t) −1 .
C’est une bijection continue croissante, sa bijection réciproque étant
donnée par t → 1 − (1 + t) −1 .
Démontrons que l’ensemble ordonné A
<1
+ est filtrant à droite. Soient
x et y des éléments de A
<1
+ . Puisque g(0) = 0 et puisque Sp
A (x) et
Sp
A (y) sont contenus dans [0, 1[, les éléments g(x) et g(y) sont définis ;
ils sont positifs, de sorte que g(x) + g(y) 0. On peut donc former
l’élément z = g −1 (g(x) + g(y)) de A. On a Sp
A (z) ⊂ [0, 1[, et donc
z ∈ A
<1
+ .
On a 0 g(x) g(z), d’où 1 1+g(x) 1+g(z). L’assertion b) du
lemme 14 de I, p. 119 implique que 1 + g(x) et 1 + g(z) sont inversibles
et que (1 + g(z)) −1 (1 + g(x)) −1 . Par suite, z = 1 − (1 + g(z)) −1
1 − (1 + g(x)) −1 = x. De même, on a z y. En conséquence, z majore
x et y dans A
<1
+ . L’ensemble ordonné A
<1
+ est donc filtrant à droite.
Notons F le filtre de ses sections
Soit x un élément positif de A. Pour tout entier n 1, soit e n =
g −1 (nx) ; on a e n ∈ A
<1
+ . Soit h n la fonction continue sur R + définie
pour tout t ∈ R + par h n (t) = t 2 (1 − g −1 (nt)) = t 2 /(1 + nt). On
a |h n (t)| t/n pour tout t 0, et donc x(1 − e n )x = h n (x)
x/n. En particulier, x(1−e n )x tend vers 0 quand n tend vers l’infini.
o 10 UNITÉS APPROCHÉES DANS LES ALGÈBRES STELLAIRES TS I.121
Comme xx ∗ est positif (th. 2 de I, p. 118), l’hypothèse implique que
lim sup
f,F
f x − x
2 xx
∗ − xx
∗ = 0,
de sorte que
lim
f,F
f x = x.
Comme l’involution de A est continue et comme F est une base de
filtre sur A h , il vient
lim
f,F
xf = lim
f,F
(f
∗ x
∗ )
∗ = lim
f,F
(f x
∗ )
∗ = (x
∗ )
∗ = x.
La proposition en résulte.
Proposition 18. — Soit A une algèbre stellaire. L’ensemble ordonné A
<1
+ est filtrant à droite (E, III, p. 12, déf. 7) et le filtre de ses
sections (TG, I, p. 38, exemple 2) est une unité approchée croissante
de A.
Soit
A l’algèbre stellaire déduite de A par adjonction d’un élément
unité noté 1 (déf. 4 de I, p. 106).
Soit g la fonction de [0, 1[ dans R + définie par g(t) = t(1 − t) −1 .
C’est une bijection continue croissante, sa bijection réciproque étant
donnée par t → 1 − (1 + t) −1 .
Démontrons que l’ensemble ordonné A
<1
+ est filtrant à droite. Soient
x et y des éléments de A
<1
+ . Puisque g(0) = 0 et puisque Sp
A (x) et
Sp
A (y) sont contenus dans [0, 1[, les éléments g(x) et g(y) sont définis ;
ils sont positifs, de sorte que g(x) + g(y) 0. On peut donc former
l’élément z = g −1 (g(x) + g(y)) de A. On a Sp
A (z) ⊂ [0, 1[, et donc
z ∈ A
<1
+ .
On a 0 g(x) g(z), d’où 1 1+g(x) 1+g(z). L’assertion b) du
lemme 14 de I, p. 119 implique que 1 + g(x) et 1 + g(z) sont inversibles
et que (1 + g(z)) −1 (1 + g(x)) −1 . Par suite, z = 1 − (1 + g(z)) −1
1 − (1 + g(x)) −1 = x. De même, on a z y. En conséquence, z majore
x et y dans A
<1
+ . L’ensemble ordonné A
<1
+ est donc filtrant à droite.
Notons F le filtre de ses sections
Soit x un élément positif de A. Pour tout entier n 1, soit e n =
g −1 (nx) ; on a e n ∈ A
<1
+ . Soit h n la fonction continue sur R + définie
pour tout t ∈ R + par h n (t) = t 2 (1 − g −1 (nt)) = t 2 /(1 + nt). On
a |h n (t)| t/n pour tout t 0, et donc x(1 − e n )x = h n (x)
x/n. En particulier, x(1−e n )x tend vers 0 quand n tend vers l’infini.