TS I.122
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Soit ε > 0 un nombre réel. Soit n un entier tel que x(1 − e n )x < ε.
Pour tout f ∈ A
<1
+ tel que f e n , on a alors
x − f x
2 = (1 − f )x
2 = ((1 − f )x)
∗ (1 − f )x = x
∗ (1 − f )
2 x
= x(1 − f )
2 x.
Par ailleurs, puisque 0 f 1, il vient (1−f )−(1−f ) 2 = (1−f )f 0
(lemme 12, d) de I, p. 116), donc (1−f ) 2 1−f . Comme 1−f 1−e n ,
il vient 0 (1−f ) 2 1−e n . D’après le lemme 14, a) et c) de I, p. 119,
il s’ensuit
x − f x
2 = x(1 − f )
2 x x(1 − e n )x < ε.
On a donc lim f,F f x = x pour tout x ∈ A + . Le filtre F est donc une
unité approchée de A d’après la proposition 17.
11. Quotient par un idéal bilatère fermé
Lemme 15. — Soit A une algèbre stellaire et soit I un idéal bilatère
fermé de A. Alors I est auto-adjoint.
Soit J = I ∩ I ∗ . L’ensemble J est un idéal bilatère auto-adjoint de
A, qui contient I ∗ I. En particulier, J est une algèbre stellaire. Soit F
une unité approchée croissante de J (prop. 18 de I, p. 121). Pour tout
x ∈ I et tout f ∈ J
1
+ , on a
xf − x
2 = (xf − x)
∗ (xf − x) = f (x
∗ xf − x
∗ x) − (x
∗ xf − x
∗ x)
2x
∗ xf − x
∗ x.
Comme x ∗ x ∈ J, on a donc
lim
f,F
xf − x
2 = 0.
Comme xf ∈ J pour tout f ∈ J
1
+ et comme J est fermé, cela implique
que x ∈ J. Donc I = J, et l’idéal I est auto-adjoint.
Proposition 19. — Soit A une algèbre stellaire et soit I un idéal
bilatère fermé de A. Alors l’algèbre de Banach involutive quotient A/I
est une algèbre stellaire.
L’idéal I est auto-adjoint (lemme 15). On considère l’algèbre stellaire
A déduite de A par adjonction d’un élément unité (déf. 4 de I,