N
o 12
ALGÈBRE STELLAIRE ENVELOPPANTE
TS I.123
p. 106). Dans cette algèbre, l’ensemble I est un idéal bilatère autoadjoint fermé, et A/I s’identifie à une sous-algèbre involutive fermée
de
A/I. On peut donc supposer que A est unifère.
L’algèbre de Banach A/I est involutive. Soit π : A → A/I la projection canonique. L’idéal bilatère auto-adjoint I est une sous-algèbre
stellaire de A. Soit F une unité approchée croissante de I (prop. 18 de
I, p. 121). Montrons d’abord que pour tout x ∈ A, on a
(6)
π(x) A/I = lim
f,F
x − xf .
D’une part, comme xf ∈ I pour tout f ∈ I
1
+ , on a
π(x) A/I = inf
a∈I
x − a lim inf
f,F
x − xf .
D’autre part, pour tout a ∈ I, on a
x − xf (x − a) − (x − a)f + a − af
= (x − a)(1 − f ) + a − af
et donc, puisque 1 − f 1 (lemme 12 de I, p. 116) et a ∈ I, on en
déduit
lim sup
f,F
x − xf x − a.
Ainsi, il vient lim sup f,F x − xf π(x) A/I puisque a est arbitraire
dans I. La formule (6) est donc démontrée.
Soit maintenant x un élément de A. D’après la formule (6), on a
π(x)
2
A/I = lim
f,F
x − xf
2 = lim
f,F
x(1 − f )
2
= lim
f,F
(1 − f )x
∗ x(1 − f ) lim
f,F
x
∗ x(1 − f ) = π(x
∗ x) A/I .
Le lemme 6 de I, p. 103 entraîne alors que l’algèbre de Banach involutive A/I est une algèbre stellaire.
12. Algèbre stellaire enveloppante d’une algèbre de Banach
involutive
Lemme 16. — Soit A une algèbre involutive et soit p une semi-norme
sur A. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) On a p(xy) p(x)p(y), p(x ∗ ) = p(x) et p(x) 2 = p(x ∗ x) quels
que soient x, y ∈ A ;