TS I.124
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
(ii) L’ensemble R des éléments x de A tels que p(x) = 0 est un
idéal bilatère auto-adjoint de A, et la semi-norme sur A/R déduite de p
fait de A/R une algèbre normée involutive dont la complétée est une
algèbre stellaire ;
(iii) Il existe une algèbre stellaire B et un morphisme d’algèbres
involutives ϕ de A dans B tel que p(x) = ϕ(x) pour tout x ∈ A.
Les implications (i)=⇒ (ii)=⇒ (iii)=⇒ (i) sont toutes élémentaires.
Une semi-norme satisfaisant aux conditions du lemme 16 sera appelée une semi-norme stellaire sur l’algèbre involutive A.
Soit A une algèbre normée involutive et soit S l’ensemble des seminormes stellaires sur A. On a p(x) x pour tout x ∈ A et tout
p ∈ S (I, p. 104, prop. 2). L’application x → →x ∗ = sup
p∈S
p(x) est une
semi-norme stellaire sur A. C’est la plus grande semi-norme stellaire
sur A.
Soit R l’ensemble des x ∈ A tels que x ∗ = 0. C’est un idéal bilatère fermé de A. On note Stell(A) l’algèbre stellaire complétée de
A/R pour la norme déduite de x → →x ∗ (lemme 16, (ii)). L’application canonique de A dans Stell(A) est continue, son image est dense
dans Stell(A) et son noyau est égal à R.
Définition 8. — L’algèbre stellaire Stell(A) est appelée l’algèbre stellaire enveloppante de l’algèbre normée involutive A.
Si A est commutative, alors Stell(A) est commutative ; si A est unifère, alors Stell(A) est unifère.
Proposition 20. — Soit A une algèbre normée involutive et soit j
le morphisme canonique de A dans Stell(A). Pour toute algèbre stellaire B et pour tout morphisme ϕ d’algèbres involutives de A dans B,
il existe un unique morphisme ϕ d’algèbres stellaires de Stell(A) dans
B tel que ϕ = ϕ ◦ j.
Notons x → →x ∗ la norme sur Stell(A). Soit R le noyau de j.
L’application x → →ϕ(x) est une semi-norme stellaire sur A. On a
donc ϕ(x) x ∗ pour tout x ∈ A. Le morphisme ϕ définit donc
par passage au quotient un morphisme continu de A/R dans B, qui
se prolonge par continuité en un morphisme ϕ de Stell(A) dans B
vérifiant ϕ = ϕ ◦ j. L’unicité de ϕ résulte de ce que l’image de j est
dense dans Stell(A).
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
(ii) L’ensemble R des éléments x de A tels que p(x) = 0 est un
idéal bilatère auto-adjoint de A, et la semi-norme sur A/R déduite de p
fait de A/R une algèbre normée involutive dont la complétée est une
algèbre stellaire ;
(iii) Il existe une algèbre stellaire B et un morphisme d’algèbres
involutives ϕ de A dans B tel que p(x) = ϕ(x) pour tout x ∈ A.
Les implications (i)=⇒ (ii)=⇒ (iii)=⇒ (i) sont toutes élémentaires.
Une semi-norme satisfaisant aux conditions du lemme 16 sera appelée une semi-norme stellaire sur l’algèbre involutive A.
Soit A une algèbre normée involutive et soit S l’ensemble des seminormes stellaires sur A. On a p(x) x pour tout x ∈ A et tout
p ∈ S (I, p. 104, prop. 2). L’application x → →x ∗ = sup
p∈S
p(x) est une
semi-norme stellaire sur A. C’est la plus grande semi-norme stellaire
sur A.
Soit R l’ensemble des x ∈ A tels que x ∗ = 0. C’est un idéal bilatère fermé de A. On note Stell(A) l’algèbre stellaire complétée de
A/R pour la norme déduite de x → →x ∗ (lemme 16, (ii)). L’application canonique de A dans Stell(A) est continue, son image est dense
dans Stell(A) et son noyau est égal à R.
Définition 8. — L’algèbre stellaire Stell(A) est appelée l’algèbre stellaire enveloppante de l’algèbre normée involutive A.
Si A est commutative, alors Stell(A) est commutative ; si A est unifère, alors Stell(A) est unifère.
Proposition 20. — Soit A une algèbre normée involutive et soit j
le morphisme canonique de A dans Stell(A). Pour toute algèbre stellaire B et pour tout morphisme ϕ d’algèbres involutives de A dans B,
il existe un unique morphisme ϕ d’algèbres stellaires de Stell(A) dans
B tel que ϕ = ϕ ◦ j.
Notons x → →x ∗ la norme sur Stell(A). Soit R le noyau de j.
L’application x → →ϕ(x) est une semi-norme stellaire sur A. On a
donc ϕ(x) x ∗ pour tout x ∈ A. Le morphisme ϕ définit donc
par passage au quotient un morphisme continu de A/R dans B, qui
se prolonge par continuité en un morphisme ϕ de Stell(A) dans B
vérifiant ϕ = ϕ ◦ j. L’unicité de ϕ résulte de ce que l’image de j est
dense dans Stell(A).