N
o 13
GROUPE LOCALEMENT COMPACT
TS I.125
Corollaire. — Soient A une algèbre de Banach involutive commutative et j le morphisme canonique de A dans Stell(A). L’application
X(j) est un homéomorphisme de X(Stell(A)) sur le sous-espace X(A) h
de X(A) formé des caractères hermitiens de A.
Les caractères hermitiens de A sont les morphismes d’algèbres involutives de A dans l’algèbre stellaire C. La prop. 20 entraîne donc que
X(j) est une bijection de X(Stell(A)) sur X(A) h . Comme X(j) est un
homéomorphisme sur son image (cf. I, p. 10), le corollaire en résulte.
On identifie X(Stell(A)) à X(A) h par l’application X(j). Pour tout
x ∈ A, l’application G Stell(A) (j(x)) n’est autre que la restriction à
X(A) h de G A (x).
Proposition 21. — Soient A une algèbre de Banach involutive et j le
morphisme canonique de A dans Stell(A). Le radical de A est contenu
dans le noyau de j.
Soit x un élément du radical de A. Alors x ∗ x appartient au radical de A, et donc Sp
A (x ∗ x) = {0} (I, p. 5, remarque 3). Puisque
Sp
Stell(A) (j(x ∗ x)) ⊂ Sp
A (x ∗ x), on a donc Sp
Stell(A) (j(x) ∗ j(x)) = {0},
d’où j(x) 2 = j(x) ∗ j(x) = (j(x) ∗ j(x)) = 0 (formule (2) de I,
p. 104), et donc j(x) = 0.
13. Algèbre stellaire d’un groupe localement compact
Définition 9. — Soit G un groupe localement compact et soit A l’algèbre de Banach involutive des mesures bornées sur G admettant une
densité par rapport à une mesure de Haar sur G (exemple 4 de I,
p. 99). On appelle algèbre stellaire de G l’algèbre stellaire enveloppante de l’algèbre de Banach involutive A. On la note Stell(G).
Remarque. — Soit ν une mesure de Haar à gauche sur G et soit ∆
son module. L’application f → f · ν est un isomorphisme isométrique
de l’algèbre L 1 (G, ν) sur A (loc. cit.). On peut donc aussi définir
Stell(G) comme l’algèbre stellaire enveloppante de l’algèbre normée
involutive L 1 (G, ν).
Soit G un groupe localement compact et soit ν une mesure de Haar
à gauche sur G. Pour µ ∈ M 1 (G) et f ∈ L 2 (G, ν), on a µ∗f ∈ L 2 (G, ν)
(INT, VIII, §4, prop. 6). Notons alors γ(µ) l’endomorphisme f → µ∗f
de L 2 (G, ν). L’application µ → γ(µ) est une représentation de l’algèbre
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GROUPE LOCALEMENT COMPACT
TS I.125
Corollaire. — Soient A une algèbre de Banach involutive commutative et j le morphisme canonique de A dans Stell(A). L’application
X(j) est un homéomorphisme de X(Stell(A)) sur le sous-espace X(A) h
de X(A) formé des caractères hermitiens de A.
Les caractères hermitiens de A sont les morphismes d’algèbres involutives de A dans l’algèbre stellaire C. La prop. 20 entraîne donc que
X(j) est une bijection de X(Stell(A)) sur X(A) h . Comme X(j) est un
homéomorphisme sur son image (cf. I, p. 10), le corollaire en résulte.
On identifie X(Stell(A)) à X(A) h par l’application X(j). Pour tout
x ∈ A, l’application G Stell(A) (j(x)) n’est autre que la restriction à
X(A) h de G A (x).
Proposition 21. — Soient A une algèbre de Banach involutive et j le
morphisme canonique de A dans Stell(A). Le radical de A est contenu
dans le noyau de j.
Soit x un élément du radical de A. Alors x ∗ x appartient au radical de A, et donc Sp
A (x ∗ x) = {0} (I, p. 5, remarque 3). Puisque
Sp
Stell(A) (j(x ∗ x)) ⊂ Sp
A (x ∗ x), on a donc Sp
Stell(A) (j(x) ∗ j(x)) = {0},
d’où j(x) 2 = j(x) ∗ j(x) = (j(x) ∗ j(x)) = 0 (formule (2) de I,
p. 104), et donc j(x) = 0.
13. Algèbre stellaire d’un groupe localement compact
Définition 9. — Soit G un groupe localement compact et soit A l’algèbre de Banach involutive des mesures bornées sur G admettant une
densité par rapport à une mesure de Haar sur G (exemple 4 de I,
p. 99). On appelle algèbre stellaire de G l’algèbre stellaire enveloppante de l’algèbre de Banach involutive A. On la note Stell(G).
Remarque. — Soit ν une mesure de Haar à gauche sur G et soit ∆
son module. L’application f → f · ν est un isomorphisme isométrique
de l’algèbre L 1 (G, ν) sur A (loc. cit.). On peut donc aussi définir
Stell(G) comme l’algèbre stellaire enveloppante de l’algèbre normée
involutive L 1 (G, ν).
Soit G un groupe localement compact et soit ν une mesure de Haar
à gauche sur G. Pour µ ∈ M 1 (G) et f ∈ L 2 (G, ν), on a µ∗f ∈ L 2 (G, ν)
(INT, VIII, §4, prop. 6). Notons alors γ(µ) l’endomorphisme f → µ∗f
de L 2 (G, ν). L’application µ → γ(µ) est une représentation de l’algèbre