TS I.126
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
M 1 (G) dans l’algèbre de Banach L (L 2 (G, ν)) des endomorphismes
continus de L 2 (G, ν) (INT, VIII, §4, cor. de la prop. 6). D’autre part,
γ(q µ) est la transposée de l’endomorphisme γ(µ) (INT, VIII, §4, n
o 3,
prop. 8). Il en résulte que γ(µ ∗ ) est l’endomorphisme adjoint de γ(µ),
et donc que l’application γ : µ → γ(µ) est un morphisme d’algèbres
involutives de M 1 (G) dans l’algèbre stellaire L (L 2 (G, ν)), appelé la
représentation régulière gauche de M 1 (G) dans L 2 (G, ν). D’après INT,
VIII, §4, n
o 7, prop. 19, cette représentation est fidèle.
Soit j l’application canonique de L 1 (G, ν) dans Stell(G). Par restriction à L 1 (G, ν), la représentation régulière γ définit un morphisme
injectif d’algèbres involutives de L 1 (G, ν) dans L (L 2 (G, ν)), appelé
représentation régulière gauche de L 1 (G) dans L 2 (G). D’après la
prop. 20, il existe un unique morphisme γ : Stell(G) → L (L 2 (G, ν))
tel que γ = γ ◦ j. On dit que γ est la représentation régulière gauche
de Stell(G) dans L 2 (G, ν). Par abus de notation, nous noterons encore
(7)
γ
(ϕ)(f ) = ϕ ∗ f
pour f ∈ L 2 (G, ν) et ϕ ∈ Stell(G). On a
(8)
ϕ ∗ f 2 ϕ ∗ f 2 .
Remarque. — En général, la représentation régulière gauche γ de
Stell(G) dans L 2 (G, ν) n’est pas fidèle. On peut démontrer qu’elle l’est
si et seulement si il existe sur L ∞
R (G) une forme linéaire positive f telle
que f (1) = 1 et f (γ(g)x) = f (x) pour tout (g, x) ∈ G × G (on dit alors
que le groupe G est moyennable, cf. EVT, IV, p. 73, exercice 4).
Proposition 22. — L’application canonique j de L 1 (G, ν) dans
Stell(G) est injective et d’image dense.
L’image de j est dense par définition de l’algèbre stellaire enveloppante d’une algèbre normée involutive. Puisque la représentation régulière gauche γ est fidèle, l’injectivité de j résulte de l’égalité γ = γ ◦ j.
Corollaire. — L’algèbre L 1 (G, ν) est sans radical.
Ceci résulte de la prop. 21 de I, p. 125 et de la prop. 22.
On peut donc identifier L 1 (G, ν) à une sous-algèbre involutive dense
de Stell(G), et l’injection canonique de L 1 (G, ν) dans Stell(G) est alors
continue.
Supposons maintenant que le groupe G soit unimodulaire (INT,
VII, §1, n
o 3, déf. 3). On peut alors répéter les mêmes arguments à
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
M 1 (G) dans l’algèbre de Banach L (L 2 (G, ν)) des endomorphismes
continus de L 2 (G, ν) (INT, VIII, §4, cor. de la prop. 6). D’autre part,
γ(q µ) est la transposée de l’endomorphisme γ(µ) (INT, VIII, §4, n
o 3,
prop. 8). Il en résulte que γ(µ ∗ ) est l’endomorphisme adjoint de γ(µ),
et donc que l’application γ : µ → γ(µ) est un morphisme d’algèbres
involutives de M 1 (G) dans l’algèbre stellaire L (L 2 (G, ν)), appelé la
représentation régulière gauche de M 1 (G) dans L 2 (G, ν). D’après INT,
VIII, §4, n
o 7, prop. 19, cette représentation est fidèle.
Soit j l’application canonique de L 1 (G, ν) dans Stell(G). Par restriction à L 1 (G, ν), la représentation régulière γ définit un morphisme
injectif d’algèbres involutives de L 1 (G, ν) dans L (L 2 (G, ν)), appelé
représentation régulière gauche de L 1 (G) dans L 2 (G). D’après la
prop. 20, il existe un unique morphisme γ : Stell(G) → L (L 2 (G, ν))
tel que γ = γ ◦ j. On dit que γ est la représentation régulière gauche
de Stell(G) dans L 2 (G, ν). Par abus de notation, nous noterons encore
(7)
γ
(ϕ)(f ) = ϕ ∗ f
pour f ∈ L 2 (G, ν) et ϕ ∈ Stell(G). On a
(8)
ϕ ∗ f 2 ϕ ∗ f 2 .
Remarque. — En général, la représentation régulière gauche γ de
Stell(G) dans L 2 (G, ν) n’est pas fidèle. On peut démontrer qu’elle l’est
si et seulement si il existe sur L ∞
R (G) une forme linéaire positive f telle
que f (1) = 1 et f (γ(g)x) = f (x) pour tout (g, x) ∈ G × G (on dit alors
que le groupe G est moyennable, cf. EVT, IV, p. 73, exercice 4).
Proposition 22. — L’application canonique j de L 1 (G, ν) dans
Stell(G) est injective et d’image dense.
L’image de j est dense par définition de l’algèbre stellaire enveloppante d’une algèbre normée involutive. Puisque la représentation régulière gauche γ est fidèle, l’injectivité de j résulte de l’égalité γ = γ ◦ j.
Corollaire. — L’algèbre L 1 (G, ν) est sans radical.
Ceci résulte de la prop. 21 de I, p. 125 et de la prop. 22.
On peut donc identifier L 1 (G, ν) à une sous-algèbre involutive dense
de Stell(G), et l’injection canonique de L 1 (G, ν) dans Stell(G) est alors
continue.
Supposons maintenant que le groupe G soit unimodulaire (INT,
VII, §1, n
o 3, déf. 3). On peut alors répéter les mêmes arguments à