N
o 1
SPECTRE D’UN ENDOMORPHISME
TS I.127
partir de la représentation régulière droite (f, µ) → δ(µ)(f ) = f ∗ q
µ de
L 2 (G, ν) × M 1 (G) dans L 2 (G, ν). On définit alors un morphisme δ
de
Stell(G) dans L (L 2 (G, ν)) tel que δ = δ
◦j, et on note δ
(ϕ)(f ) = f ∗ϕ
pour f ∈ L 2 (G, ν) et ϕ ∈ Stell(G).
Pour ϕ, ψ ∈ Stell(G), on a δ
(ψ) ◦ γ (ϕ) = γ (ψ) ◦ δ
(ϕ), c’est-à-dire
(9)
(ϕ ∗ f ) ∗ ψ = ϕ ∗ (f ∗ ψ)
pour tout f ∈ L 2 (G, ν). En effet, cette formule est vraie pour ϕ, ψ ∈
L 1 (G, ν), et les applications (ϕ, ψ) → (ϕ ∗ f ) ∗ ψ et (ϕ, ψ) → ϕ ∗ (f ∗ ψ)
sont des applications bilinéaires continues de Stell(G) × Stell(G) dans
L 2 (G, ν).
§ 7. SPECTRE DES ENDOMORPHISMES DES ESPACES
DE BANACH
Sauf mention du contraire, les espaces vectoriels considérés dans ce
paragraphe sont des espaces vectoriels sur C. On note 1 E l’application
identique d’un espace vectoriel E. Un endomorphisme d’un espace vectoriel topologique E est une application linéaire continue de E dans E.
Soient E un espace vectoriel topologique et u un endomorphisme
de E. Si F est un sous-espace de E stable par u, on dira que l’endomorphisme de F déduit de u par passage aux sous-espaces est l’endomorphisme de F déduit de u. On le notera u|F.
1. Spectre d’un endomorphisme
Définition 1. — Soit E un espace vectoriel topologique et soit u un
endomorphisme de E. On appelle spectre de u, et on note Sp(u), le
spectre de u relativement à l’algèbre unifère L (E).
Soit E un espace vectoriel topologique et soit u ∈ L (E). Le spectre
de u est l’ensemble des nombres complexes λ tels que u − λ1 E n’est
pas un automorphisme de E. Si E est métrisable complet, c’est aussi
l’ensemble des nombres complexes λ tels que u − λ1 E n’est pas bijectif
(EVT, I, p. 19, cor. 1).
o 1
SPECTRE D’UN ENDOMORPHISME
TS I.127
partir de la représentation régulière droite (f, µ) → δ(µ)(f ) = f ∗ q
µ de
L 2 (G, ν) × M 1 (G) dans L 2 (G, ν). On définit alors un morphisme δ
de
Stell(G) dans L (L 2 (G, ν)) tel que δ = δ
◦j, et on note δ
(ϕ)(f ) = f ∗ϕ
pour f ∈ L 2 (G, ν) et ϕ ∈ Stell(G).
Pour ϕ, ψ ∈ Stell(G), on a δ
(ψ) ◦ γ (ϕ) = γ (ψ) ◦ δ
(ϕ), c’est-à-dire
(9)
(ϕ ∗ f ) ∗ ψ = ϕ ∗ (f ∗ ψ)
pour tout f ∈ L 2 (G, ν). En effet, cette formule est vraie pour ϕ, ψ ∈
L 1 (G, ν), et les applications (ϕ, ψ) → (ϕ ∗ f ) ∗ ψ et (ϕ, ψ) → ϕ ∗ (f ∗ ψ)
sont des applications bilinéaires continues de Stell(G) × Stell(G) dans
L 2 (G, ν).
§ 7. SPECTRE DES ENDOMORPHISMES DES ESPACES
DE BANACH
Sauf mention du contraire, les espaces vectoriels considérés dans ce
paragraphe sont des espaces vectoriels sur C. On note 1 E l’application
identique d’un espace vectoriel E. Un endomorphisme d’un espace vectoriel topologique E est une application linéaire continue de E dans E.
Soient E un espace vectoriel topologique et u un endomorphisme
de E. Si F est un sous-espace de E stable par u, on dira que l’endomorphisme de F déduit de u par passage aux sous-espaces est l’endomorphisme de F déduit de u. On le notera u|F.
1. Spectre d’un endomorphisme
Définition 1. — Soit E un espace vectoriel topologique et soit u un
endomorphisme de E. On appelle spectre de u, et on note Sp(u), le
spectre de u relativement à l’algèbre unifère L (E).
Soit E un espace vectoriel topologique et soit u ∈ L (E). Le spectre
de u est l’ensemble des nombres complexes λ tels que u − λ1 E n’est
pas un automorphisme de E. Si E est métrisable complet, c’est aussi
l’ensemble des nombres complexes λ tels que u − λ1 E n’est pas bijectif
(EVT, I, p. 19, cor. 1).