TS I.128
ENDOMORPHISMES DES ESPACES DE BANACH
§ 7
Toute valeur propre de u appartient au spectre de u, mais la réciproque est fausse en général.
Dans la suite de ce paragraphe, nous nous bornerons à étudier la
notion de spectre dans le cas où E est un espace de Banach.
Lemme 1. — Soit E un espace de Banach et soit u un endomorphisme
de E. Soit (E i ) i∈I une famille finie de sous-espaces fermés de E, stables
par u, tels que E =
i∈I E i . Pour tout i ∈ I, notons u i l’endomorphisme de E i déduit de u. On a Sp(u) =
i∈I Sp(u i ), et pour tout
f ∈ O(Sp(u)), l’endomorphisme f (u) stabilise les espaces E i , et f (u)
coïncide avec f (u i ) sur E i .
L’endomorphisme u est un isomorphisme si et seulement si u i est un
isomorphisme pour tout i ∈ I. En appliquant cette propriété à u−λ1 E ,
on en déduit que Sp(u) est la réunion des ensembles Sp(u i ) pour i ∈ I.
Soit f ∈ O(Sp(u)). L’endomorphisme f (u) de E appartient au bicommutant de u dans L (E) (th. 5 de I, p. 74), donc commute avec
les projecteurs p i . Il stabilise alors les espaces E i . Considérons le morphisme unifère continu de l’algèbre produit
i∈I L (E i ) dans L (E)
défini par (v i ) i∈I →
i v i . Il applique la famille (u i ) sur u. La prop. 7
de I, p. 75 implique alors que Sp(u) ⊂
i∈I Sp(u i ) et
f (u) = f (((u i ) i∈I )) = ((f (u i )) i∈I ) =
i∈I
f (u i ),
ce qui conclut la preuve du lemme.
Proposition 1. — Soient E un espace de Banach complexe et u un
endomorphisme de E. Soient λ ∈ C et f ∈ O(Sp(u)). On a
Ker(u − λ1 E ) ⊂ Ker(f (u) − f (λ)1 E ).
Soit x ∈ E non nul. L’ensemble A des v ∈ L (E) tels que x soit
vecteur propre de v est une sous-algèbre unifère de L (E).
L’algèbre A est pleine : si v ∈ A est inversible dans L (E) et si
x est vecteur propre de v pour la valeur propre λ, alors λ = 0 et
v −1 (x) = λ −1 x, ce qui prouve que v −1 ∈ A.
L’algèbre A est fermée dans L (E). En effet, si (v n ) n∈N est une suite
dans A telle que v n converge vers v ∈ L (E), la suite (λ n ) n∈N telle que
v n (x) = λ n x est bornée, donc admet une sous-suite convergeant vers
un nombre complexe µ, de sorte que v(x) = µx.
ENDOMORPHISMES DES ESPACES DE BANACH
§ 7
Toute valeur propre de u appartient au spectre de u, mais la réciproque est fausse en général.
Dans la suite de ce paragraphe, nous nous bornerons à étudier la
notion de spectre dans le cas où E est un espace de Banach.
Lemme 1. — Soit E un espace de Banach et soit u un endomorphisme
de E. Soit (E i ) i∈I une famille finie de sous-espaces fermés de E, stables
par u, tels que E =
i∈I E i . Pour tout i ∈ I, notons u i l’endomorphisme de E i déduit de u. On a Sp(u) =
i∈I Sp(u i ), et pour tout
f ∈ O(Sp(u)), l’endomorphisme f (u) stabilise les espaces E i , et f (u)
coïncide avec f (u i ) sur E i .
L’endomorphisme u est un isomorphisme si et seulement si u i est un
isomorphisme pour tout i ∈ I. En appliquant cette propriété à u−λ1 E ,
on en déduit que Sp(u) est la réunion des ensembles Sp(u i ) pour i ∈ I.
Soit f ∈ O(Sp(u)). L’endomorphisme f (u) de E appartient au bicommutant de u dans L (E) (th. 5 de I, p. 74), donc commute avec
les projecteurs p i . Il stabilise alors les espaces E i . Considérons le morphisme unifère continu de l’algèbre produit
i∈I L (E i ) dans L (E)
défini par (v i ) i∈I →
i v i . Il applique la famille (u i ) sur u. La prop. 7
de I, p. 75 implique alors que Sp(u) ⊂
i∈I Sp(u i ) et
f (u) = f (((u i ) i∈I )) = ((f (u i )) i∈I ) =
i∈I
f (u i ),
ce qui conclut la preuve du lemme.
Proposition 1. — Soient E un espace de Banach complexe et u un
endomorphisme de E. Soient λ ∈ C et f ∈ O(Sp(u)). On a
Ker(u − λ1 E ) ⊂ Ker(f (u) − f (λ)1 E ).
Soit x ∈ E non nul. L’ensemble A des v ∈ L (E) tels que x soit
vecteur propre de v est une sous-algèbre unifère de L (E).
L’algèbre A est pleine : si v ∈ A est inversible dans L (E) et si
x est vecteur propre de v pour la valeur propre λ, alors λ = 0 et
v −1 (x) = λ −1 x, ce qui prouve que v −1 ∈ A.
L’algèbre A est fermée dans L (E). En effet, si (v n ) n∈N est une suite
dans A telle que v n converge vers v ∈ L (E), la suite (λ n ) n∈N telle que
v n (x) = λ n x est bornée, donc admet une sous-suite convergeant vers
un nombre complexe µ, de sorte que v(x) = µx.