N
o 2
PROJECTEURS SPECTRAUX
TS I.129
Supposons que x soit vecteur propre de u et que u(x) = λx.
L’algèbre A contient u, donc contient la sous-algèbre unifère fermée pleine B engendrée par u, qui est commutative. L’application
χ : B → C qui, à v, associe la valeur propre de v relative à x est
un caractère de B tel que χ(u) = λ. Pour tout f ∈ O(Sp(u)), on a
f (u) ∈ B et χ(f (u)) = f (χ(u)) = f (λ) d’après la prop. 7 de I, p. 75,
d’où la proposition.
2. Projecteurs spectraux
Soit E un espace de Banach. On note A l’algèbre de Banach unifère
L (E) des endomorphismes de E. Soit u ∈ A.
Soit H une partie de Sp(u) qui est ouverte et fermée dans Sp(u) ;
notons K son complémentaire dans Sp(u).
L’élément idempotent associé à u et H (n
o 12 de I, p. 81) est un
projecteur continu de E, appelé le projecteur spectral associé à u et H ;
on le note e H (u), ou simplement e H . Son image est appelée le sousespace spectral de E associé à u et à H, et notée E H (u), ou simplement
E H . Son noyau est E K (u), et est également noté
E H (u), ou simplement
E H . L’espace E est somme directe topologique des sous-espaces
fermés E H et E K . Pour que l’on ait E H = 0, il faut et il suffit que l’on
ait e H = 0, c’est-à-dire que la fonction indicatrice f H de H sur Sp(u)
soit la fonction nulle, c’est-à-dire que H = ∅.
Tout endomorphisme v de E qui commute à u commute aussi à e H (u)
(th. 5 de I, p. 74), donc stabilise E H et E K . En particulier, l’endomorphisme u laisse stables les sous-espaces E H et E K . L’espace E K est le
seul supplémentaire topologique de E H dans E qui soit stable par u.
L’algèbre unifère A H = e H Ae H (loc. cit.) est la sous-algèbre de A
formée des endomorphismes de E qui laissent stable E H et qui sont nuls
sur E K . Pour tout v ∈ A H , on note v|E H l’endomorphisme de E H déduit
de v. L’application v → v|E H est un isomorphisme de A H dans L (E H ).
En particulier, on a Sp(u|E H ) = Sp A H (u|E H ) = H et Sp A K (u|E K ) = K
d’après la formule (18) de I, p. 82.
Proposition 2. — Soient E un espace de Banach et u un endomorphisme de E. Soient E 1 et E 2 des sous-espaces fermés de E stables
par u tels que E = E 1 ⊕ E 2 . On suppose que les endomorphismes u 1
et u 2 de E 1 et E 2 déduits de u ont des spectres disjoints H 1 = Sp(u 1 )
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PROJECTEURS SPECTRAUX
TS I.129
Supposons que x soit vecteur propre de u et que u(x) = λx.
L’algèbre A contient u, donc contient la sous-algèbre unifère fermée pleine B engendrée par u, qui est commutative. L’application
χ : B → C qui, à v, associe la valeur propre de v relative à x est
un caractère de B tel que χ(u) = λ. Pour tout f ∈ O(Sp(u)), on a
f (u) ∈ B et χ(f (u)) = f (χ(u)) = f (λ) d’après la prop. 7 de I, p. 75,
d’où la proposition.
2. Projecteurs spectraux
Soit E un espace de Banach. On note A l’algèbre de Banach unifère
L (E) des endomorphismes de E. Soit u ∈ A.
Soit H une partie de Sp(u) qui est ouverte et fermée dans Sp(u) ;
notons K son complémentaire dans Sp(u).
L’élément idempotent associé à u et H (n
o 12 de I, p. 81) est un
projecteur continu de E, appelé le projecteur spectral associé à u et H ;
on le note e H (u), ou simplement e H . Son image est appelée le sousespace spectral de E associé à u et à H, et notée E H (u), ou simplement
E H . Son noyau est E K (u), et est également noté
E H (u), ou simplement
E H . L’espace E est somme directe topologique des sous-espaces
fermés E H et E K . Pour que l’on ait E H = 0, il faut et il suffit que l’on
ait e H = 0, c’est-à-dire que la fonction indicatrice f H de H sur Sp(u)
soit la fonction nulle, c’est-à-dire que H = ∅.
Tout endomorphisme v de E qui commute à u commute aussi à e H (u)
(th. 5 de I, p. 74), donc stabilise E H et E K . En particulier, l’endomorphisme u laisse stables les sous-espaces E H et E K . L’espace E K est le
seul supplémentaire topologique de E H dans E qui soit stable par u.
L’algèbre unifère A H = e H Ae H (loc. cit.) est la sous-algèbre de A
formée des endomorphismes de E qui laissent stable E H et qui sont nuls
sur E K . Pour tout v ∈ A H , on note v|E H l’endomorphisme de E H déduit
de v. L’application v → v|E H est un isomorphisme de A H dans L (E H ).
En particulier, on a Sp(u|E H ) = Sp A H (u|E H ) = H et Sp A K (u|E K ) = K
d’après la formule (18) de I, p. 82.
Proposition 2. — Soient E un espace de Banach et u un endomorphisme de E. Soient E 1 et E 2 des sous-espaces fermés de E stables
par u tels que E = E 1 ⊕ E 2 . On suppose que les endomorphismes u 1
et u 2 de E 1 et E 2 déduits de u ont des spectres disjoints H 1 = Sp(u 1 )