TS I.130
ENDOMORPHISMES DES ESPACES DE BANACH
§ 7
et H 2 = Sp(u 2 ). Alors Sp(u) = H 1 ∪ H 2 et e H 1 (u) est le projecteur
d’image E 1 et de noyau E 2 . En particulier, on a E H 1 = E 1 et E H 2 = E 2 .
On a Sp(u) = H 1 ∪H 2 (I, p. 128, lemme 1). Comme les ensembles H 1
et H 2 sont compacts, ils sont ouverts et fermés dans Sp(u). Pour toute
fonction holomorphe f au voisinage de Sp(u), l’endomorphisme f (u)
stabilise E 1 et E 2 et coïncide dans E 1 avec f (u 1 ) et dans E 2 avec
f (u 2 ) (loc. cit.). Prenons en particulier pour f le germe de fonction
holomorphe f H 1 qui vaut 1 au voisinage de H 1 et 0 au voisinage de H 2
(cf. numéro 12 de I, p. 81) ; alors f H 1 (u 1 ) est l’application identique
de E 1 puisque f H 1 = 1 au voisinage de H 1 = Sp(u 1 ), et f H 1 (u 2 ) est
nulle puisque f H 1 = 0 au voisinage de H 2 . Donc e H 1 (u) = f H 1 (u) est
le projecteur d’image E 1 et de noyau E 2 , et l’on a donc E 1 = E H 1 et
E 2 = E H 2 .
Soient E un espace de Banach et u un endomorphisme de E. Soit
(H i ) i∈I une famille finie de parties ouvertes et fermées de Sp(u), deux
à deux disjointes, et soit H sa réunion. Les relations (15) et (16) de I,
p. 81 entraînent les assertions suivantes :
a) La famille de projecteurs (e H i (u)) i∈I est orthogonale (c’est-à-dire,
que e H i (u)e H j (u) = 0 pour tous (i, j) dans I 2 tels que i = j, cf. A, II,
p. 18, déf. 7) et sa somme est e H (u) ;
b) L’espace vectoriel E H est somme directe topologique de la famille
(E H i ) i∈I ;
c) Pour tout j ∈ I, on a E Sp(u) H j = E Sp(u) H ⊕
i =j E H i ;
d) L’espace vectoriel E Sp(u) H est l’intersection de la famille
(E Sp(u) H i ) i∈I .
Lorsque H = Sp(u), la décomposition en somme directe topologique
i∈I E H i de E est appelée la décomposition spectrale de E associée à u
et à la partition finie (H i ) i∈I de Sp(u).
Soit f un élément de O(Sp(u)). Le spectre de l’endomorphisme f (u)
de E est l’image par f du spectre de u (I, p. 75, prop. 8). Soit L
une partie ouverte et fermée de Sp(f (u)). L’ensemble H des éléments
λ ∈ Sp(u) tels que f (λ) appartienne à L est ouvert et fermé dans
Sp(u), et on a e L (f (u)) = e H (u) puisque f L ◦ f = f H dans O(Sp(u))
(loc. cit.).
ENDOMORPHISMES DES ESPACES DE BANACH
§ 7
et H 2 = Sp(u 2 ). Alors Sp(u) = H 1 ∪ H 2 et e H 1 (u) est le projecteur
d’image E 1 et de noyau E 2 . En particulier, on a E H 1 = E 1 et E H 2 = E 2 .
On a Sp(u) = H 1 ∪H 2 (I, p. 128, lemme 1). Comme les ensembles H 1
et H 2 sont compacts, ils sont ouverts et fermés dans Sp(u). Pour toute
fonction holomorphe f au voisinage de Sp(u), l’endomorphisme f (u)
stabilise E 1 et E 2 et coïncide dans E 1 avec f (u 1 ) et dans E 2 avec
f (u 2 ) (loc. cit.). Prenons en particulier pour f le germe de fonction
holomorphe f H 1 qui vaut 1 au voisinage de H 1 et 0 au voisinage de H 2
(cf. numéro 12 de I, p. 81) ; alors f H 1 (u 1 ) est l’application identique
de E 1 puisque f H 1 = 1 au voisinage de H 1 = Sp(u 1 ), et f H 1 (u 2 ) est
nulle puisque f H 1 = 0 au voisinage de H 2 . Donc e H 1 (u) = f H 1 (u) est
le projecteur d’image E 1 et de noyau E 2 , et l’on a donc E 1 = E H 1 et
E 2 = E H 2 .
Soient E un espace de Banach et u un endomorphisme de E. Soit
(H i ) i∈I une famille finie de parties ouvertes et fermées de Sp(u), deux
à deux disjointes, et soit H sa réunion. Les relations (15) et (16) de I,
p. 81 entraînent les assertions suivantes :
a) La famille de projecteurs (e H i (u)) i∈I est orthogonale (c’est-à-dire,
que e H i (u)e H j (u) = 0 pour tous (i, j) dans I 2 tels que i = j, cf. A, II,
p. 18, déf. 7) et sa somme est e H (u) ;
b) L’espace vectoriel E H est somme directe topologique de la famille
(E H i ) i∈I ;
c) Pour tout j ∈ I, on a E Sp(u) H j = E Sp(u) H ⊕
i =j E H i ;
d) L’espace vectoriel E Sp(u) H est l’intersection de la famille
(E Sp(u) H i ) i∈I .
Lorsque H = Sp(u), la décomposition en somme directe topologique
i∈I E H i de E est appelée la décomposition spectrale de E associée à u
et à la partition finie (H i ) i∈I de Sp(u).
Soit f un élément de O(Sp(u)). Le spectre de l’endomorphisme f (u)
de E est l’image par f du spectre de u (I, p. 75, prop. 8). Soit L
une partie ouverte et fermée de Sp(f (u)). L’ensemble H des éléments
λ ∈ Sp(u) tels que f (λ) appartienne à L est ouvert et fermé dans
Sp(u), et on a e L (f (u)) = e H (u) puisque f L ◦ f = f H dans O(Sp(u))
(loc. cit.).