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o 4 SPECTRE DE LA TRANSPOSÉE D’UN ENDOMORPHISME TS I.131
3. Points isolés du spectre
Soit E un espace de Banach et soit u un endomorphisme de E. Soit
λ ∈ C un point isolé de Sp(u). On note alors E λ (u) = E {λ} (u) et e λ (u)
le projecteur spectral d’image E λ (u) associé à u et à {λ}.
On note aussi
E λ (u) = E Sp(u) {λ} (u). Le spectre de l’endomorphisme
de
E λ (u) déduit de u est Sp(u) {λ} ; en particulier, u − λ1 E induit
un automorphisme de
E λ (u).
L’espace E λ (u) n’est pas nul. Le spectre de l’endomorphisme de
E λ (u) déduit de u est réduit à λ, donc u − λ1 E induit un endomorphisme quasi-nilpotent de E λ (u). L’endomorphisme u − λ1 E induit un
automorphisme de
E λ (u), donc Ker(u − λ1 E ) n ⊂ E λ (u) pour tout
n ∈ N. En particulier, on a Ker(u − λ1 E ) ⊂ E λ (u).
Pour que λ soit pôle d’ordre p > 0 de la résolvante de u, il faut et il
suffit que (u−λ1 E ) p−1 e λ (u) = 0 et (u−λ1 E ) p e λ (u) = 0 (corollaire de la
proposition 17 de I, p. 83). Dans ce cas, on a E λ (u) = Ker((u−λ1 E ) p ) et
E λ (u) = Im((u − λ1 E ) p ), puisque (u − λ1 E ) p induit un automorphisme
de
E λ (u). On a aussi
(u − λ1 E )
p−1 e λ (u) = lim
z→λ
(z − λ1 E )
p R(u, z)
d’après la proposition 17 de I, p. 83.
On prendra garde qu’en général E λ (u) n’est pas la réunion de la
famille (Ker((u − λ1 E )
n )) n∈N , ni même l’adhérence de cette réunion ;
en particulier, un point isolé de Sp(u) n’est pas nécessairement une
valeur propre de u (I, p. 187, exerc. 1). De même, il peut exister des
valeurs propres de u qui ne sont pas des points isolés de Sp(u) (I, p. 188,
exerc. 2).
4. Spectre de la transposée d’un endomorphisme
Proposition 3. — Soit E un espace de Banach et soit E son dual.
Soit u un endomorphisme de E.
a) On a Sp(u) = Sp( t u) ;
b) Pour tout f ∈ O(Sp(u)), on a f ( t u) = t f (u) ;
c) On a e H ( t u) = t e H (u) pour toute partie H de Sp(u) qui est ouverte et fermée.