TS I.132
ENDOMORPHISMES DES ESPACES DE BANACH
§ 7
Pour qu’un endomorphisme de E soit un automorphisme, il faut et il
suffit que sa transposée soit un automorphisme de E (EVT, IV, p. 30,
cor. 5), d’où l’assertion a).
L’application v → t v est un homomorphisme unifère et continu de
l’algèbre de Banach L (E) dans l’algèbre de Banach opposée de L (E )
(EVT, IV, p. 7, prop. 8). Comme l’algèbre O(Sp( t u)) est commutative, l’application f → t f (u) est un homomorphisme unifère et continu
de l’algèbre O(Sp( t u)) dans l’algèbre L (E ). Cet homomorphisme applique le germe de l’application identique de C sur t u, donc coïncide
avec l’homomorphisme f → f ( t u) (th. 5 de I, p. 74). Cela prouve b).
L’assertion c) résulte de b), appliquée à la fonction f H égale à 1 au
voisinage de H et à 0 au voisinage de son complémentaire dans Sp(u).
Remarque. — Soit H une partie ouverte et fermée de Sp(u), dont la
décomposition spectrale associée est E = E H (u) ⊕
E H (u). Il découle
de l’assertion c) que si l’on identifie E à E H (u) ⊕
E H (u) , alors on a
E
H ( t u) = E H (u) et
E
H ( t u) =
E H (u) .
5. Cas des espaces hilbertiens
Dans ce numéro, on considère des espaces hilbertiens sur K = R
ou C. On notera x 1 |x 2 le produit scalaire de deux vecteurs x 1 et x 2
dans un espace hilbertien E.
Si E est un espace hilbertien complexe, l’algèbre de Banach L (E)
munie de l’involution u → u ∗ est une algèbre stellaire (exemple 1
de I, p. 102). En particulier, si u ∈ L (E), on a (u ∗ ) = (u) et
Sp(u ∗ ) = Sp(u).
Soit u ∈ L (E) un endomorphisme normal et soit λ ∈ C. L’espace
propre de u relatif à λ coïncide avec l’espace propre de l’adjoint u ∗
relatif à λ (EVT, V, p. 43, cor. de la prop. 8). Cependant, ces espaces
ne coïncident pas en général si u n’est pas normal (exercice 3 de I,
p. 188).
Soient λ et µ des nombres complexes tels que λ = µ. Soit x un
vecteur propre de u relatif à λ et soit y un vecteur propre de u relatif
à µ. Alors, u ∗ (x) = λx, donc
µx|y = x|u(y) = u
∗ (x)|y = = λx|y.
ENDOMORPHISMES DES ESPACES DE BANACH
§ 7
Pour qu’un endomorphisme de E soit un automorphisme, il faut et il
suffit que sa transposée soit un automorphisme de E (EVT, IV, p. 30,
cor. 5), d’où l’assertion a).
L’application v → t v est un homomorphisme unifère et continu de
l’algèbre de Banach L (E) dans l’algèbre de Banach opposée de L (E )
(EVT, IV, p. 7, prop. 8). Comme l’algèbre O(Sp( t u)) est commutative, l’application f → t f (u) est un homomorphisme unifère et continu
de l’algèbre O(Sp( t u)) dans l’algèbre L (E ). Cet homomorphisme applique le germe de l’application identique de C sur t u, donc coïncide
avec l’homomorphisme f → f ( t u) (th. 5 de I, p. 74). Cela prouve b).
L’assertion c) résulte de b), appliquée à la fonction f H égale à 1 au
voisinage de H et à 0 au voisinage de son complémentaire dans Sp(u).
Remarque. — Soit H une partie ouverte et fermée de Sp(u), dont la
décomposition spectrale associée est E = E H (u) ⊕
E H (u). Il découle
de l’assertion c) que si l’on identifie E à E H (u) ⊕
E H (u) , alors on a
E
H ( t u) = E H (u) et
E
H ( t u) =
E H (u) .
5. Cas des espaces hilbertiens
Dans ce numéro, on considère des espaces hilbertiens sur K = R
ou C. On notera x 1 |x 2 le produit scalaire de deux vecteurs x 1 et x 2
dans un espace hilbertien E.
Si E est un espace hilbertien complexe, l’algèbre de Banach L (E)
munie de l’involution u → u ∗ est une algèbre stellaire (exemple 1
de I, p. 102). En particulier, si u ∈ L (E), on a (u ∗ ) = (u) et
Sp(u ∗ ) = Sp(u).
Soit u ∈ L (E) un endomorphisme normal et soit λ ∈ C. L’espace
propre de u relatif à λ coïncide avec l’espace propre de l’adjoint u ∗
relatif à λ (EVT, V, p. 43, cor. de la prop. 8). Cependant, ces espaces
ne coïncident pas en général si u n’est pas normal (exercice 3 de I,
p. 188).
Soient λ et µ des nombres complexes tels que λ = µ. Soit x un
vecteur propre de u relatif à λ et soit y un vecteur propre de u relatif
à µ. Alors, u ∗ (x) = λx, donc
µx|y = x|u(y) = u
∗ (x)|y = = λx|y.