N
o 5
CAS DES ESPACES HILBERTIENS
TS I.133
Par suite, x|y = 0 : les espaces propres de u sont deux à deux orthogonaux. De plus, pour tout λ ∈ C, l’espace propre de u relatif à λ
coïncide avec le sous-espace primaire de u relatif à λ, c’est-à-dire (LIE,
VII, §1, n
o 1) la réunion pour k ∈ N des noyaux de (u − λ1 E ) k (EVT,
V, p. 43, cor. de la prop. 8).
Lemme 2. — Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un endomorphisme normal de E. Soit (E i ) i∈I une famille finie de sousespaces fermés de E, stables par u et deux à deux orthogonaux, tels
que E =
i∈I E i . Pour tout i ∈ I, notons u i l’endomorphisme de E i
déduit de u. On a Sp(u) =
i∈I Sp(u i ), et pour tout f ∈ C (Sp(u)),
l’endomorphisme f (u) stabilise les espaces E i , et f (u) coïncide avec
f (u i ) sur E i .
La preuve suit celle du lemme 1 de I, p. 128 en utilisant la remarque
de 6 de I, p. 110 et la prop. 8 de I, p. 112.
Proposition 4. — Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un
endomorphisme normal de E. Pour toute fonction f ∈ C (Sp(u)) et
tout λ ∈ C, on a
Ker(u − λ1 E ) ⊂ Ker(f (u) − f (λ)1 E ).
La preuve est analogue à celle de la proposition 1 de I, p. 128 ;
reprenons-en les arguments. L’algèbre A introduite dans loc. cit. est
ici une sous-algèbre unifère stellaire de L (E) (EVT, V, p. 43, cor.).
Elle contient donc la sous-algèbre unifère stellaire B engendrée par u,
qui est commutative. L’application χ : B → C qui, à v, associe la valeur
propre de v relative à x est un caractère de B tel que χ(u) = λ. Pour
tout f ∈ C (Sp(u))), on a f (u) ∈ B et χ(f (u)) = f (χ(u)) = f (λ)
d’après la prop. 8 de I, p. 112, d’où l’assertion.
Lemme 3. — Soient E un espace hilbertien et p ∈ L (E) un projecteur.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Le projecteur p est un orthoprojecteur, c’est-à-dire que
Ker(p) = Im(p) ◦ (EVT, V, p. 13) ;
(ii) Le projecteur p est hermitien ;
(iii) Le projecteur p est normal ;
(iv) On a Ker(p) ⊂ Ker(p ∗ ) ;
(v) On a Im(p) ⊂ Im(p ∗ ) ;
(vi) Le projecteur p est positif ;
(vii) On a p 1.
o 5
CAS DES ESPACES HILBERTIENS
TS I.133
Par suite, x|y = 0 : les espaces propres de u sont deux à deux orthogonaux. De plus, pour tout λ ∈ C, l’espace propre de u relatif à λ
coïncide avec le sous-espace primaire de u relatif à λ, c’est-à-dire (LIE,
VII, §1, n
o 1) la réunion pour k ∈ N des noyaux de (u − λ1 E ) k (EVT,
V, p. 43, cor. de la prop. 8).
Lemme 2. — Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un endomorphisme normal de E. Soit (E i ) i∈I une famille finie de sousespaces fermés de E, stables par u et deux à deux orthogonaux, tels
que E =
i∈I E i . Pour tout i ∈ I, notons u i l’endomorphisme de E i
déduit de u. On a Sp(u) =
i∈I Sp(u i ), et pour tout f ∈ C (Sp(u)),
l’endomorphisme f (u) stabilise les espaces E i , et f (u) coïncide avec
f (u i ) sur E i .
La preuve suit celle du lemme 1 de I, p. 128 en utilisant la remarque
de 6 de I, p. 110 et la prop. 8 de I, p. 112.
Proposition 4. — Soit E un espace hilbertien complexe et soit u un
endomorphisme normal de E. Pour toute fonction f ∈ C (Sp(u)) et
tout λ ∈ C, on a
Ker(u − λ1 E ) ⊂ Ker(f (u) − f (λ)1 E ).
La preuve est analogue à celle de la proposition 1 de I, p. 128 ;
reprenons-en les arguments. L’algèbre A introduite dans loc. cit. est
ici une sous-algèbre unifère stellaire de L (E) (EVT, V, p. 43, cor.).
Elle contient donc la sous-algèbre unifère stellaire B engendrée par u,
qui est commutative. L’application χ : B → C qui, à v, associe la valeur
propre de v relative à x est un caractère de B tel que χ(u) = λ. Pour
tout f ∈ C (Sp(u))), on a f (u) ∈ B et χ(f (u)) = f (χ(u)) = f (λ)
d’après la prop. 8 de I, p. 112, d’où l’assertion.
Lemme 3. — Soient E un espace hilbertien et p ∈ L (E) un projecteur.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Le projecteur p est un orthoprojecteur, c’est-à-dire que
Ker(p) = Im(p) ◦ (EVT, V, p. 13) ;
(ii) Le projecteur p est hermitien ;
(iii) Le projecteur p est normal ;
(iv) On a Ker(p) ⊂ Ker(p ∗ ) ;
(v) On a Im(p) ⊂ Im(p ∗ ) ;
(vi) Le projecteur p est positif ;
(vii) On a p 1.