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o 13 CALCUL FONCTIONNEL DANS UNE ALGÈBRE COMPLÈTE TS I.85
13. Calcul fonctionnel holomorphe dans une algèbre normable complète réelle ou complexe
Soit E un espace vectoriel topologique réel. L’espace vectoriel topologique C ⊗ E complexifié de E (EVT, II, p. 65) est noté E (C) et
E est identifié à un sous-espace vectoriel topologique réel de E (C) par
l’application x → 1 ⊗ x.
Proposition 18. — L’espace vectoriel topologique complexe E (C) est
normable (resp. complet) si et seulement si E est normable (resp. complet).
L’espace vectoriel topologique réel sous-jacent à E (C) est isomorphe
à E × E. Ainsi E (C) est complet si et seulement si E est complet, et E
est normable si E (C) l’est.
Supposons inversement que E est normable. Soient p une norme
qui définit la topologie de E et B la boule unité de p. Il existe un
voisinage fermé équilibré V de 0 dans E (C) contenu dans B + iB (EVT,
II, p. 66). Les ensembles λV, où λ décrit R ∗
+ , forment donc un système
fondamental de voisinages de 0 dans E (C) . La jauge de V est une norme
sur E (C) qui définit la topologie de E (C) , donc E (C) est normable.
Remarque. — Soient E et F des espaces vectoriels topologiques normables sur K. L’espace vectoriel L (E; F) des applications linéaires
continues de E dans F, muni de la topologie de la convergence bornée,
est un espace vectoriel topologique normable (EVT, III, p. 14).
Soient E et F des espaces vectoriels topologiques normables sur R.
L’application C-linéaire ϕ : L (E; F) (C) → L (E (C) ; F (C) ) définie par
ϕ(λ⊗u) = λu (C) est un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques
complexes. En particulier, le dual de E (C) s’identifie au complexifié du
dual de E et l’algèbre normable L (E (C) ) à la complexifiée de l’algèbre
normable L (E).
Soit S une partie compacte de C stable par la conjugaison complexe.
Considérons la C-algèbre O(S) des germes de fonctions holomorphes
à valeurs complexes au voisinage de S, munie de la structure d’espace
localement convexe complexe définie au n o 1 de I, p. 49. Si U est un
voisinage ouvert de S dans C, et h : U → C une fonction holomorphe,
l’image V de U par la conjugaison complexe est un voisinage ouvert
de S dans C et h ∗ : w → h(w) est une fonction holomorphe sur V.
On en déduit par passage à la limite inductive une involution continue
o 13 CALCUL FONCTIONNEL DANS UNE ALGÈBRE COMPLÈTE TS I.85
13. Calcul fonctionnel holomorphe dans une algèbre normable complète réelle ou complexe
Soit E un espace vectoriel topologique réel. L’espace vectoriel topologique C ⊗ E complexifié de E (EVT, II, p. 65) est noté E (C) et
E est identifié à un sous-espace vectoriel topologique réel de E (C) par
l’application x → 1 ⊗ x.
Proposition 18. — L’espace vectoriel topologique complexe E (C) est
normable (resp. complet) si et seulement si E est normable (resp. complet).
L’espace vectoriel topologique réel sous-jacent à E (C) est isomorphe
à E × E. Ainsi E (C) est complet si et seulement si E est complet, et E
est normable si E (C) l’est.
Supposons inversement que E est normable. Soient p une norme
qui définit la topologie de E et B la boule unité de p. Il existe un
voisinage fermé équilibré V de 0 dans E (C) contenu dans B + iB (EVT,
II, p. 66). Les ensembles λV, où λ décrit R ∗
+ , forment donc un système
fondamental de voisinages de 0 dans E (C) . La jauge de V est une norme
sur E (C) qui définit la topologie de E (C) , donc E (C) est normable.
Remarque. — Soient E et F des espaces vectoriels topologiques normables sur K. L’espace vectoriel L (E; F) des applications linéaires
continues de E dans F, muni de la topologie de la convergence bornée,
est un espace vectoriel topologique normable (EVT, III, p. 14).
Soient E et F des espaces vectoriels topologiques normables sur R.
L’application C-linéaire ϕ : L (E; F) (C) → L (E (C) ; F (C) ) définie par
ϕ(λ⊗u) = λu (C) est un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques
complexes. En particulier, le dual de E (C) s’identifie au complexifié du
dual de E et l’algèbre normable L (E (C) ) à la complexifiée de l’algèbre
normable L (E).
Soit S une partie compacte de C stable par la conjugaison complexe.
Considérons la C-algèbre O(S) des germes de fonctions holomorphes
à valeurs complexes au voisinage de S, munie de la structure d’espace
localement convexe complexe définie au n o 1 de I, p. 49. Si U est un
voisinage ouvert de S dans C, et h : U → C une fonction holomorphe,
l’image V de U par la conjugaison complexe est un voisinage ouvert
de S dans C et h ∗ : w → h(w) est une fonction holomorphe sur V.
On en déduit par passage à la limite inductive une involution continue