TS I.84
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
Ce qui précède entraîne les assertions a) et b). Prouvons c). En
remplaçant x par x−µ, on se ramène au cas où µ = 0. Posons H = {0} ;
c’est une partie ouverte et fermée de Sp A (x). D’après la formule (18),
le spectre de x H dans A H est {0}, donc x H est quasi-nilpotent, c’est-àdire que x n j H 1/n = (xj H ) n 1/n tend vers 0 quand n tend vers +∞.
En outre, pour λ = 0, on a dans A H
(λj H − x H )
−1 =
∞
n=0
λ
−n−1 x
n
H
(théorème 1 de I, p. 24, d)), d’où (20).
Corollaire 1. — Soient µ un point isolé de Sp A (x) et p un entier
strictement positif. Pour que µ soit un pôle d’ordre p de la résolvante
de x (cf. VAR, R1, p. 30, 3.3.9), il faut et il suffit que (x−µ) p−1 j {µ} = 0
et (x − µ) p j {µ} = 0.
Corollaire 2. — Soit µ un point isolé de Sp A (x). Soit Γ le bord
orienté d’un disque ouvert ∆ de centre µ tel que
Sp A (x) ∩ (Γ ∪ ∆) = {µ}.
Alors l’idempotent j {µ} associé à x et {µ} est donné par
j {µ} =
1
2iπ
Γ
(z − x)
−1 dz.
* En d’autres termes, l’idempotent j {µ} est le résidu en µ de la résolvante de x. *
Pour z ∈ C Sp A (x), on a
(z − u)
−1 = R(x, z) = R {µ} (x, z) + R H (x, z),
où H = Sp A (x) {µ} (formule (19)). La fonction z → R H (x, z) est
holomorphe dans C H et au voisinage de {µ} (prop. 17, b)), donc
1
2iπ
Γ
R H (x, z)dz = 0
(VAR, R2, p. 48, 11.2.5). La fonction z → R {λ} (x, z) est la résolvante
de l’élément j {µ} xj {µ} de l’algèbre unifère A {µ} . On a alors
j {µ} =
1
2iπ
Γ
R {µ} (x, z) dz
d’après la prop. 9 de I, p. 75 appliquée à A {µ} et à la fonction
constante 1 au voisinage de ∆ ∪ Γ. Le corollaire en résulte.