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PARTITIONS DU SPECTRE D’UN ÉLÉMENT
TS I.83
En particulier, si H est non vide, l’idempotent j H est non nul.
Les formules (17) et (18) prouvent que la fonction λ → R H (x, λ),
définie dans C H, est la résolvante de x H relativement à A H .
Proposition 16. — On conserve les notations précédentes. Soit
(H i ) 1in une partition de Sp A (x) en éléments de Π.
a) L’algèbre B s’identifie canoniquement à l’algèbre B H 1 ×· · ·×B Hn ;
b) On a x H i x H j = 0 pour i = j, et
x = x H 1 + x H 2 + · · · + x Hn ;
c) On a
(19)
R(x, λ) = R H 1 (x, λ) + · · · + R Hn (x, λ)
pour tout λ ∈ C Sp A (x). En particulier, si H ∈ Π, la résolvante
λ → R(x, λ) est égale au voisinage de H à la somme de R H (x, λ) et
d’une fonction holomorphe.
La relation 1 = j H 1 + · · · + j Hn est une décomposition de 1 en
idempotents de B deux à deux orthogonaux, donc l’algèbre B s’identifie canoniquement à l’algèbre produit B H 1 × · · · × B Hn (A, I, p. 105,
prop. 10).
L’assertion b) résulte des relations correspondantes pour les fonctions g H i ; l’assertion c) est une conséquence de a) et de l’égalité
R(x H , λ) = R H (x, λ).
Proposition 17. — Soit µ un point isolé de Sp A (x). Alors
a) Pour tout λ ∈ C Sp A (x), on a
R(x, λ) = R {µ} (x, λ) + R Sp A (x) {µ} (x, λ) ;
b) La fonction qui à λ associe R Sp A (x) {µ} (x, λ) est holomorphe dans
C Sp A (x) et au voisinage de µ ; de plus, la fonction qui à λ associe
R {µ} (x, λ) est holomorphe dans C {µ} ;
c) On a
lim
n→+∞
(x − µ)
n j {µ}
1/n = 0
et, pour λ ∈ C {µ}, la formule
(20)
R {µ} (x, λ) =
∞
n=0
(λ − µ)
−n−1 (x − µ)
n j {µ} .