TS I.82
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
dans K. Soit B la sous-algèbre fermée pleine de A engendrée par x ;
elle est commutative.
Pour tout H ∈ Π, il existe un unique élément f H de O(K) égal à 1
au voisinage de H et à 0 au voisinage de K H. On pose j H = f H (x).
L’élément j H est un idempotent de A, dit associé à x et H, et on a
les formules suivantes :
j H∩H = j H j H = j H j H
(H, H
∈ Π)
(15)
j H∪H = j H + j H − j H j H
(H, H
∈ Π)
(16)
j ∅ = 0,
j K = 1.
Soit H ∈ Π. On définit A H = j H Aj H . C’est une sous-algèbre fermée
de A, admettant l’élément unité j H (cf. lemme 1 de I, p. 2). On pose
également B H = j H Bj H et x H = xj H = j H x = j H xj H ∈ B H .
Soit g H l’élément de O(K) défini par g H (z) = z au voisinage de H et
g H (z) = 0 au voisinage de K H. On a g H (z) = f H (z)z sur K, et donc
x H = g H (x). Il en résulte que, si H = K, on a
Sp A (x H ) = g H (K) = H ∪ {0}.
Soit λ ∈ C H. Notons h H,λ l’élément de O(K) égal à (λ − z) −1
au voisinage de H et à 0 au voisinage de K H. On a h H,λ = f H h H,λ
et (λf H − g H )h H,λ = f H . Si l’on note R H (x, λ) = h H,λ (x), on a donc
R H (x, λ) ∈ B H et
R H (x, λ)(λj H − x H ) = (λj H − x H )R H (x, λ) = j H ,
(17)
R H (x, λ)j K H = j K H R H (x, λ) = 0.
En particulier, λ ∈ C Sp A H (x H ).
Soit maintenant λ ∈ H. Supposons que λj H − x H admette un inverse y dans A H . En utilisant les formules j H y = y (car y ∈ A H ) et
j K H R K H (x, λ) = R K H (x, λ) (car R K H (x, λ) ∈ A K H ), on trouve
(λ − x)(y + R K H (x, λ)) = (λ − x)(j H y + j K H R K H (x, λ)) =
(λj H − xj H )y + (λj K H − xj K H )R K H (x, λ) = j H + j K H = 1,
(grâce à la formule (17) appliquée à K H). On vérifie de même que
(y + R K H (x, λ))(λ − x) = 1.
Cela démontre que λ − x admet dans A l’inverse y + R K H (x, λ), ce qui
est absurde. Ainsi on a λ ∈ Sp A H (x H ). On conclut donc que
(18)
Sp A H (x H ) = H.