N
o 12
PARTITIONS DU SPECTRE D’UN ÉLÉMENT
TS I.81
parties X(A) et {χ 0 } sont ouvertes dans X(
A). D’après la prop. 13, il
existe un élément j ∈ A tel que χ(j) = 1 pour χ ∈ X(A), et χ 0 (j) = 0.
On a donc j ∈ A.
Soit alors x dans A. On a χ(jx) = χ(x) pour tout χ ∈ X(A), donc
jx = x puisque A est sans radical. Ainsi, j est un élément unité de A.
Proposition 15. — Soit A une algèbre de Banach commutative,
soient I 1 un idéal de A et F 1 l’ensemble des χ ∈ X(A) qui sont nuls
sur I 1 . Soit F 2 une partie de X(A) disjointe de F 1 , fermée pour la
topologie de Jacobson, et compacte pour la topologie faible. Alors il
existe u ∈ I 1 tel que G (u) = 1 sur F 2 .
Soit I 2 l’intersection des noyaux des caractères appartenant à F 2 .
L’algèbre de Banach A/I 2 est sans radical (prop. 8 de I, p. 38). Puisque
F 2 est fermé pour la topologie de Jacobson, les seuls éléments de X(A)
nuls sur I 2 sont ceux de F 2 (cf. I, p. 13). Donc F 2 , muni de la topologie
induite par la topologie faible de X(A), s’identifie à X(A/I 2 ) muni de
la topologie faible (I, p. 9, n
o 7). Comme F 2 est faiblement compact,
l’algèbre A/I 2 possède un élément unité (prop. 14).
On a alors I 1 + I 2 = A. En effet, dans le cas contraire, (I 1 + I 2 )/I 2
serait un idéal strict, donc contenu dans le noyau d’un caractère non
nul de A/I 2 (I, p. 30, th. 2). Celui-ci définirait, par composition avec
la projection canonique A → A/I 2 , un caractère non nul χ de A qui
s’annulerait sur I 1 et I 2 , et appartiendrait donc à F 1 ∩F 2 , contrairement
à l’hypothèse.
Puisque I 1 + I 2 = A, il existe u ∈ I 1 dont la classe dans A/I 2 est
un élément unité de A/I 2 . Alors χ(u) = 1 pour tout χ ∈ F 2 , ce qui
conclut la démonstration.
Corollaire. — Soit A une algèbre de Banach commutative.
Soient F 1 et F 2 deux parties disjointes de X(A), fermées pour la
topologie de Jacobson. On suppose F 2 faiblement compacte. Alors il
existe u ∈ A tel que G (u) = 1 sur F 2 et G (u) = 0 sur F 1 .
12. Partitions du spectre d’un élément
Soient A une algèbre de Banach unifère, x ∈ A, et K = Sp A (x).
On note Π l’ensemble des parties de K qui sont ouvertes et fermées
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PARTITIONS DU SPECTRE D’UN ÉLÉMENT
TS I.81
parties X(A) et {χ 0 } sont ouvertes dans X(
A). D’après la prop. 13, il
existe un élément j ∈ A tel que χ(j) = 1 pour χ ∈ X(A), et χ 0 (j) = 0.
On a donc j ∈ A.
Soit alors x dans A. On a χ(jx) = χ(x) pour tout χ ∈ X(A), donc
jx = x puisque A est sans radical. Ainsi, j est un élément unité de A.
Proposition 15. — Soit A une algèbre de Banach commutative,
soient I 1 un idéal de A et F 1 l’ensemble des χ ∈ X(A) qui sont nuls
sur I 1 . Soit F 2 une partie de X(A) disjointe de F 1 , fermée pour la
topologie de Jacobson, et compacte pour la topologie faible. Alors il
existe u ∈ I 1 tel que G (u) = 1 sur F 2 .
Soit I 2 l’intersection des noyaux des caractères appartenant à F 2 .
L’algèbre de Banach A/I 2 est sans radical (prop. 8 de I, p. 38). Puisque
F 2 est fermé pour la topologie de Jacobson, les seuls éléments de X(A)
nuls sur I 2 sont ceux de F 2 (cf. I, p. 13). Donc F 2 , muni de la topologie
induite par la topologie faible de X(A), s’identifie à X(A/I 2 ) muni de
la topologie faible (I, p. 9, n
o 7). Comme F 2 est faiblement compact,
l’algèbre A/I 2 possède un élément unité (prop. 14).
On a alors I 1 + I 2 = A. En effet, dans le cas contraire, (I 1 + I 2 )/I 2
serait un idéal strict, donc contenu dans le noyau d’un caractère non
nul de A/I 2 (I, p. 30, th. 2). Celui-ci définirait, par composition avec
la projection canonique A → A/I 2 , un caractère non nul χ de A qui
s’annulerait sur I 1 et I 2 , et appartiendrait donc à F 1 ∩F 2 , contrairement
à l’hypothèse.
Puisque I 1 + I 2 = A, il existe u ∈ I 1 dont la classe dans A/I 2 est
un élément unité de A/I 2 . Alors χ(u) = 1 pour tout χ ∈ F 2 , ce qui
conclut la démonstration.
Corollaire. — Soit A une algèbre de Banach commutative.
Soient F 1 et F 2 deux parties disjointes de X(A), fermées pour la
topologie de Jacobson. On suppose F 2 faiblement compacte. Alors il
existe u ∈ A tel que G (u) = 1 sur F 2 et G (u) = 0 sur F 1 .
12. Partitions du spectre d’un élément
Soient A une algèbre de Banach unifère, x ∈ A, et K = Sp A (x).
On note Π l’ensemble des parties de K qui sont ouvertes et fermées