TS I.80
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
D’après TG, II, p. 31, prop. 4, il existe une partie finie M de A et des
parties ouvertes disjointes V 1 et V 2 de C M telles que
p(U 1 ) ⊂ V 1 ,
p(U 2 ) ⊂ V 2 ,
où p est la projection canonique de C A sur C M .
Soient a 1 , . . . , a n les éléments distincts de M, et identifions C M à C n .
On a Sp
n
A (a 1 , . . . , a n ) ⊂ p(X(A)) ⊂ V 1 ∪ V 2 puisque U 1 ∪ U 2 = X(A).
Soit f la fonction sur V 1 ∪ V 2 égale à 1 sur V 1 et à 0 sur V 2 . On
a f ∈ O(V 1 ∪ V 2 ). Posons j = f (a 1 , . . . , a n ). Comme f 2 = f , on a
j 2 = j. D’après le cor. 1 de I, p. 66, on a χ(j) = 1 si χ ∈ U 1 et χ(j) = 0
si χ ∈ U 2 , ce qui démontre l’existence de l’idempotent demandé.
D’autre part, si j 1 est un idempotent de A, les relations j 2 = j
et j 2
1 = j 1 impliquent (j − j 1 )(j + j 1 − 1) = 0. Si G (j 1 ) = G (j), la
transformée de Gelfand de j + j 1 − 1 est à valeurs dans {−1, 1}, donc
j + j 1 − 1 est inversible (prop. 6 de I, p. 37), d’où j = j 1 .
Corollaire. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
a) L’espace des caractères X(A) n’est pas connexe ;
b) Il existe un élément idempotent de A différent de 0 et 1 ;
c) L’algèbre A est isomorphe au produit de deux algèbres de Banach
non nulles.
La proposition démontre que a) implique b). Si j est un idempotent
de A, soient I 1 = jA et I 2 = (1 − j)A. Alors I 1 et I 2 sont des idéaux
fermés de A, et I 1 + I 2 = A. Si j /
∈ {0, 1}, les idéaux I 1 et I 2 sont
distincts de A. D’autre part, l’idéal I 1 (resp. I 2 ) est l’ensemble des
éléments x de A tels que jx = x (resp. (1−j)x = x), donc I 1 ∩I 2 = {0}.
L’algèbre A s’identifie alors au produit A/I 1 ×A/I 2 . Ainsi, l’assertion b)
implique c). Finalement, si A est isomorphe à A 1 × A 2 , l’espace X(A)
s’identifie à l’espace somme de X(A 1 ) et de X(A 2 ) (I, p. 6, n
o 6), donc c)
implique a).
Proposition 14. — Soit A une algèbre de Banach commutative
sans radical. Pour que A admette un élément unité, il faut et il suffit
que X(A) soit compact.
La condition est nécessaire (I, p. 29, corollaire). Supposons X(A)
compact. Soit
A l’algèbre de Banach déduite de A par adjonction d’un
élément unité, et identifions X (A) à X(
A). Le complémentaire de X(A)
dans X(
A) est réduit au caractère χ 0 de
A dont le noyau est A. Les
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
D’après TG, II, p. 31, prop. 4, il existe une partie finie M de A et des
parties ouvertes disjointes V 1 et V 2 de C M telles que
p(U 1 ) ⊂ V 1 ,
p(U 2 ) ⊂ V 2 ,
où p est la projection canonique de C A sur C M .
Soient a 1 , . . . , a n les éléments distincts de M, et identifions C M à C n .
On a Sp
n
A (a 1 , . . . , a n ) ⊂ p(X(A)) ⊂ V 1 ∪ V 2 puisque U 1 ∪ U 2 = X(A).
Soit f la fonction sur V 1 ∪ V 2 égale à 1 sur V 1 et à 0 sur V 2 . On
a f ∈ O(V 1 ∪ V 2 ). Posons j = f (a 1 , . . . , a n ). Comme f 2 = f , on a
j 2 = j. D’après le cor. 1 de I, p. 66, on a χ(j) = 1 si χ ∈ U 1 et χ(j) = 0
si χ ∈ U 2 , ce qui démontre l’existence de l’idempotent demandé.
D’autre part, si j 1 est un idempotent de A, les relations j 2 = j
et j 2
1 = j 1 impliquent (j − j 1 )(j + j 1 − 1) = 0. Si G (j 1 ) = G (j), la
transformée de Gelfand de j + j 1 − 1 est à valeurs dans {−1, 1}, donc
j + j 1 − 1 est inversible (prop. 6 de I, p. 37), d’où j = j 1 .
Corollaire. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
a) L’espace des caractères X(A) n’est pas connexe ;
b) Il existe un élément idempotent de A différent de 0 et 1 ;
c) L’algèbre A est isomorphe au produit de deux algèbres de Banach
non nulles.
La proposition démontre que a) implique b). Si j est un idempotent
de A, soient I 1 = jA et I 2 = (1 − j)A. Alors I 1 et I 2 sont des idéaux
fermés de A, et I 1 + I 2 = A. Si j /
∈ {0, 1}, les idéaux I 1 et I 2 sont
distincts de A. D’autre part, l’idéal I 1 (resp. I 2 ) est l’ensemble des
éléments x de A tels que jx = x (resp. (1−j)x = x), donc I 1 ∩I 2 = {0}.
L’algèbre A s’identifie alors au produit A/I 1 ×A/I 2 . Ainsi, l’assertion b)
implique c). Finalement, si A est isomorphe à A 1 × A 2 , l’espace X(A)
s’identifie à l’espace somme de X(A 1 ) et de X(A 2 ) (I, p. 6, n
o 6), donc c)
implique a).
Proposition 14. — Soit A une algèbre de Banach commutative
sans radical. Pour que A admette un élément unité, il faut et il suffit
que X(A) soit compact.
La condition est nécessaire (I, p. 29, corollaire). Supposons X(A)
compact. Soit
A l’algèbre de Banach déduite de A par adjonction d’un
élément unité, et identifions X (A) à X(
A). Le complémentaire de X(A)
dans X(
A) est réduit au caractère χ 0 de
A dont le noyau est A. Les