N
o 11
PARTITIONS DE L’ESPACE DES CARACTÈRES
TS I.79
d’après la prop. 8 de I, p. 75. Inversement, soit b un élément de A tel
que Sp A (b) ⊂ B. On a Sp A (exp(b)) ⊂ F et
(13)
log(exp(b)) = b
(loc. cit.).
En particulier, si a ∈ A est tel que (a) < 1, on a Sp A (1 − a) ⊂ F
et on peut former log(1 − a). Pour n 1, la n-ème dérivée de z →
log(1−z) est z → −(n−1)!(1−z) −n Le développement en série entière
de z → log(1 − z) au point 0 est donc
log(1 − z) = −
∞
n=1
z n
n
,
valide pour |z| < 1 (VAR, R1, p. 30, 3.3.9). D’après la prop. 2 de I,
p. 65, il vient
(14)
log(1 − a) = −
∞
n=1
a n
n
.
Proposition 12. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative. L’image de l’application exponentielle est la composante neutre
du groupe G des éléments inversibles de A.
Les formules (10) et (11) prouvent que exp(A) est un sous-groupe
de G. D’après ce qui précède (voir la formule (12)), ce sous-groupe
contient la boule ouverte de centre 1 et de rayon 1. C’est donc un sousgroupe ouvert, et par suite fermé, de G. Par ailleurs, A est connexe et
l’application a → exp(a) est continue, de sorte que exp(A) est connexe.
Donc exp(A) est la composante neutre de G.
11. Partitions de l’espace des caractères
Proposition 13. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative. Soient U 1 et U 2 des ouverts de X(A) formant une partition
de X(A). Alors il existe un unique idempotent j de A tel que la transformée de Gelfand G (j) soit égale à 1 sur U 1 et à 0 sur U 2 .
Identifions l’espace X(A) à une partie compacte de C A par l’application χ → (χ(a)) a∈A (cf. n
o 6 de I, p. 6 et cor. du th. 1 de I, p. 29). Les
parties U 1 et U 2 de l’espace uniforme C A sont compactes et disjointes.
o 11
PARTITIONS DE L’ESPACE DES CARACTÈRES
TS I.79
d’après la prop. 8 de I, p. 75. Inversement, soit b un élément de A tel
que Sp A (b) ⊂ B. On a Sp A (exp(b)) ⊂ F et
(13)
log(exp(b)) = b
(loc. cit.).
En particulier, si a ∈ A est tel que (a) < 1, on a Sp A (1 − a) ⊂ F
et on peut former log(1 − a). Pour n 1, la n-ème dérivée de z →
log(1−z) est z → −(n−1)!(1−z) −n Le développement en série entière
de z → log(1 − z) au point 0 est donc
log(1 − z) = −
∞
n=1
z n
n
,
valide pour |z| < 1 (VAR, R1, p. 30, 3.3.9). D’après la prop. 2 de I,
p. 65, il vient
(14)
log(1 − a) = −
∞
n=1
a n
n
.
Proposition 12. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative. L’image de l’application exponentielle est la composante neutre
du groupe G des éléments inversibles de A.
Les formules (10) et (11) prouvent que exp(A) est un sous-groupe
de G. D’après ce qui précède (voir la formule (12)), ce sous-groupe
contient la boule ouverte de centre 1 et de rayon 1. C’est donc un sousgroupe ouvert, et par suite fermé, de G. Par ailleurs, A est connexe et
l’application a → exp(a) est continue, de sorte que exp(A) est connexe.
Donc exp(A) est la composante neutre de G.
11. Partitions de l’espace des caractères
Proposition 13. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative. Soient U 1 et U 2 des ouverts de X(A) formant une partition
de X(A). Alors il existe un unique idempotent j de A tel que la transformée de Gelfand G (j) soit égale à 1 sur U 1 et à 0 sur U 2 .
Identifions l’espace X(A) à une partie compacte de C A par l’application χ → (χ(a)) a∈A (cf. n
o 6 de I, p. 6 et cor. du th. 1 de I, p. 29). Les
parties U 1 et U 2 de l’espace uniforme C A sont compactes et disjointes.