TS I.78
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
converge dans A et sa somme est h(a, b) = f (a + b). En outre, cette
série est absolument convergente d’après l’assertion a).
10. Exponentielle et logarithme
On note exp la fonction exponentielle complexe de C dans C (FVR,
III, p. 8, déf. 2). Elle est dérivable et vérifie exp = exp (FVR, III, p. 9,
(26)) donc est holomorphe dans C. Soient A une algèbre de Banach
unifère et a un élément de A. D’après la prop. 2 de I, p. 65 et la formule
(9) de FVR, III, p. 16, on a
(9)
exp(a) =
∞
n=0
a n
n!
.
Comme a n a n , on voit que exp(a) exp(a) et que la
série (9) converge uniformément dans toute boule de A. L’application
a → exp(a) de A dans A est holomorphe (prop. 10 de I, p. 76). On
note également parfois e a l’exponentielle de a ∈ A.
Lorsque a est un endomorphisme d’un espace de Banach E, l’exponentielle exp(a) ainsi définie dans l’algèbre de Banach L (E) coïncide
avec celle définie dans FVR, IV, p. 27, déf. 1, d’après loc. cit. prop. 7 (3).
Pour tout élément b de A qui est permutable à a, on a aussi
exp(a + b) =
∞
n=0
b n
n!
exp(a),
(prop. 11 de I, p. 77), d’où
(10)
exp(a + b) = exp(a) · exp(b).
En particulier, exp(a) est inversible et
(11)
exp(a)
−1 = exp(−a).
Soit B l’ensemble des z ∈ C tels que −π < I z < π. Soit F le
complémentaire dans C de l’intervalle R − . La restriction de l’exponentielle à B induit par passage aux sous-espaces une bijection de B
sur F (FVR, III, p. 10, n
o 7), dont la bijection réciproque sera notée
log.
Si a ∈ A est tel que Sp A (a) ⊂ F, on peut former l’élément log(a)
de A. On a Sp A (log(a)) ⊂ B, et
(12)
exp(log(a)) = a