N
o 9 CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE EN UNE VARIABLE TS I.77
Proposition 11. — Soient A une algèbre de Banach unifère, a ∈ A
et U un voisinage ouvert de Sp A (a). Notons δ la distance de Sp A (a) à
C U. Soit f ∈ O(U).
a) Pour tout nombre réel η tel que 0 < η < δ, il existe un nombre
réel C 0 tel que f (n) (a) Cn!η −n pour tout entier n ∈ N ;
b) Si b ∈ A est permutable à a et si (b) < δ, on a Sp A (a + b) ⊂ U,
et
f (a + b) =
∞
n=0
f (n) (a)
n!
b
n ,
où la série converge absolument.
Soit η un nombre réel tel que 0 < η < δ. Notons ε = δ − η > 0.
Soit K le voisinage compact de Sp A (a) formé des points de C dont
la distance à Sp A (a) est ε/2. Comme f est holomorphe dans tout
disque ouvert de rayon η + ε/2 dont le centre appartient à K, il existe,
d’après les inégalités de Cauchy (VAR, R1, p. 29, 3.3.4), un nombre
réel C 0 tel que
sup
z∈K
|f (n) (z)|
n!
C
η n
pour tout entier n 0. Alors l’assertion a) résulte de la prop. 1 de I,
p. 61 appliquée à f (n) et à une pièce V contenue dans K.
Soit b un élément de A permutable à a tel que (b) < δ. En remplaçant A par la sous-algèbre fermée pleine B engendrée par a et b,
qui vérifie Sp A (a) = Sp B (a) et Sp A (a + b) = Sp B (a + b), on se ramène
pour démontrer b) au cas où A est commutative.
Puisque (b) < δ, on peut choisir η tel que (b) < η < δ. Soient V 1
l’ensemble des points de C dont la distance à Sp A (a) est < δ − η, et V 2
le disque ouvert de centre 0 et de rayon η dans C. Soit g l’application
(z 1 , z 2 ) → z 1 + z 2 de V 1 × V 2 dans U. Alors h = f ◦ g est l’application
(z 1 , z 2 ) → f (z 1 + z 2 ) de V 1 × V 2 dans C. On a Sp
2
A (a, b) ⊂ V 1 × V 2 ,
donc Sp A (a+b) ⊂ U (cf. cor. 2 de I, p. 67), et de plus f (a+b) = h(a, b)
d’après le th. 4 de I, p. 72. Or, dans l’espace O(V 1 × V 2 ), on a
h(z 1 , z 2 ) =
n0
f (n) (z 1 )
n!
z
n
2 ,
(VAR, R1, p. 29, 3.3.4) donc la série
n0
f (n) (a)
n!
b
n
o 9 CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE EN UNE VARIABLE TS I.77
Proposition 11. — Soient A une algèbre de Banach unifère, a ∈ A
et U un voisinage ouvert de Sp A (a). Notons δ la distance de Sp A (a) à
C U. Soit f ∈ O(U).
a) Pour tout nombre réel η tel que 0 < η < δ, il existe un nombre
réel C 0 tel que f (n) (a) Cn!η −n pour tout entier n ∈ N ;
b) Si b ∈ A est permutable à a et si (b) < δ, on a Sp A (a + b) ⊂ U,
et
f (a + b) =
∞
n=0
f (n) (a)
n!
b
n ,
où la série converge absolument.
Soit η un nombre réel tel que 0 < η < δ. Notons ε = δ − η > 0.
Soit K le voisinage compact de Sp A (a) formé des points de C dont
la distance à Sp A (a) est ε/2. Comme f est holomorphe dans tout
disque ouvert de rayon η + ε/2 dont le centre appartient à K, il existe,
d’après les inégalités de Cauchy (VAR, R1, p. 29, 3.3.4), un nombre
réel C 0 tel que
sup
z∈K
|f (n) (z)|
n!
C
η n
pour tout entier n 0. Alors l’assertion a) résulte de la prop. 1 de I,
p. 61 appliquée à f (n) et à une pièce V contenue dans K.
Soit b un élément de A permutable à a tel que (b) < δ. En remplaçant A par la sous-algèbre fermée pleine B engendrée par a et b,
qui vérifie Sp A (a) = Sp B (a) et Sp A (a + b) = Sp B (a + b), on se ramène
pour démontrer b) au cas où A est commutative.
Puisque (b) < δ, on peut choisir η tel que (b) < η < δ. Soient V 1
l’ensemble des points de C dont la distance à Sp A (a) est < δ − η, et V 2
le disque ouvert de centre 0 et de rayon η dans C. Soit g l’application
(z 1 , z 2 ) → z 1 + z 2 de V 1 × V 2 dans U. Alors h = f ◦ g est l’application
(z 1 , z 2 ) → f (z 1 + z 2 ) de V 1 × V 2 dans C. On a Sp
2
A (a, b) ⊂ V 1 × V 2 ,
donc Sp A (a+b) ⊂ U (cf. cor. 2 de I, p. 67), et de plus f (a+b) = h(a, b)
d’après le th. 4 de I, p. 72. Or, dans l’espace O(V 1 × V 2 ), on a
h(z 1 , z 2 ) =
n0
f (n) (z 1 )
n!
z
n
2 ,
(VAR, R1, p. 29, 3.3.4) donc la série
n0
f (n) (a)
n!
b
n