TS I.76
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
Proposition 10. — Soient A une algèbre de Banach unifère et U une
partie ouverte de C.
a) L’ensemble Ω des a ∈ A tels que Sp A (a) ⊂ U est ouvert dans A ;
b) Soit f ∈ O(U). L’application a → f (a) de Ω dans A est holomorphe, et en particulier continue.
Soit a ∈ Ω. Il existe un voisinage compact V de Sp A (a) contenu
dans U qui est une pièce de U (VAR, R2, p. 46 et p. 47, 11.1.3, d)).
Puisque la résolvante de a tend vers 0 à l’infini (th. 1, c) de I, p. 24),
l’application z → →(z − a) −1 est bornée sur C ˚
V. Notons M sa borne
supérieure. Si h ∈ A est tel que h (2M) −1 et si z ∈ C ˚
V, on a
z − (a + h) = (1 − h(z − a)
−1 )(z − a)
et h(z − a) −1
1
2 , donc z − (a + h) est inversible et son inverse
vérifie
(8)
(z − (a + h))
−1 = (z − a)
−1
∞
n=0
(h(z − a)
−1 )
n
avec (h(z − a) −1 ) n 2 −n (prop. 2 de I, p. 22). Ainsi, Sp A (a + h) est
contenu dans V, donc dans U, ce qui prouve que Ω est ouvert dans A.
Soit f ∈ O(U). Notons m la borne supérieure de |f (z)| pour z ∈ ∂V.
Soit a ∈ A. Pour tout h ∈ A tel que h (2M) −1 , on a
f (a + h) =
1
2iπ
∂V
f (z)(z − (a + h))
−1 dz
(prop. 9). La série (8) converge uniformément sur le bord de V, donc
f (a + h) =
+∞
n=0
f a,n (h)
où l’application f a,n de A dans A est définie par
f a,n (h) =
1
2iπ
∂V
f (z)(z − a)
−1 (h(z − a)
−1 )
n dz.
Pour tout n ∈ N, la fonction f a,n est une fonction polynomiale homogène continue de degré n. De plus, il vient
f a,n (h)
mM
π
∂V
dz
2
−(n+1)
(INT, VI, §2, n
o 3, prop. 5). La série
n f a,n (h) est donc absolument
convergente pour h (2M) −1 . Cela démontre que l’application qui
à a associe f (a) est holomorphe sur Ω (VAR, R1, p. 26, 3.2.1).
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
Proposition 10. — Soient A une algèbre de Banach unifère et U une
partie ouverte de C.
a) L’ensemble Ω des a ∈ A tels que Sp A (a) ⊂ U est ouvert dans A ;
b) Soit f ∈ O(U). L’application a → f (a) de Ω dans A est holomorphe, et en particulier continue.
Soit a ∈ Ω. Il existe un voisinage compact V de Sp A (a) contenu
dans U qui est une pièce de U (VAR, R2, p. 46 et p. 47, 11.1.3, d)).
Puisque la résolvante de a tend vers 0 à l’infini (th. 1, c) de I, p. 24),
l’application z → →(z − a) −1 est bornée sur C ˚
V. Notons M sa borne
supérieure. Si h ∈ A est tel que h (2M) −1 et si z ∈ C ˚
V, on a
z − (a + h) = (1 − h(z − a)
−1 )(z − a)
et h(z − a) −1
1
2 , donc z − (a + h) est inversible et son inverse
vérifie
(8)
(z − (a + h))
−1 = (z − a)
−1
∞
n=0
(h(z − a)
−1 )
n
avec (h(z − a) −1 ) n 2 −n (prop. 2 de I, p. 22). Ainsi, Sp A (a + h) est
contenu dans V, donc dans U, ce qui prouve que Ω est ouvert dans A.
Soit f ∈ O(U). Notons m la borne supérieure de |f (z)| pour z ∈ ∂V.
Soit a ∈ A. Pour tout h ∈ A tel que h (2M) −1 , on a
f (a + h) =
1
2iπ
∂V
f (z)(z − (a + h))
−1 dz
(prop. 9). La série (8) converge uniformément sur le bord de V, donc
f (a + h) =
+∞
n=0
f a,n (h)
où l’application f a,n de A dans A est définie par
f a,n (h) =
1
2iπ
∂V
f (z)(z − a)
−1 (h(z − a)
−1 )
n dz.
Pour tout n ∈ N, la fonction f a,n est une fonction polynomiale homogène continue de degré n. De plus, il vient
f a,n (h)
mM
π
∂V
dz
2
−(n+1)
(INT, VI, §2, n
o 3, prop. 5). La série
n f a,n (h) est donc absolument
convergente pour h (2M) −1 . Cela démontre que l’application qui
à a associe f (a) est holomorphe sur Ω (VAR, R1, p. 26, 3.2.1).