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o 9 CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE EN UNE VARIABLE TS I.75
Proposition 7. — Soient A et B des algèbres de Banach unifères
et ϕ un morphisme unifère continu de A dans B. Soit a ∈ A.
Alors Sp B (ϕ(a)) ⊂ Sp A (a) et on a ϕ(f (a)) = f (ϕ(a)) pour
tout f ∈ O(Sp A (a)). En particulier, pour tout χ ∈ X(A), on a
χ(f (a)) = f (χ(a)).
Ceci résulte de la prop. 3 de I, p. 66.
Proposition 8. — Soient A une algèbre de Banach unifère et a ∈ A.
Soit f ∈ O(Sp(a)). On a f (Sp A (a)) = Sp A (f (a)). De plus, pour tout
g ∈ O(Sp A (f (a))), on a g ◦ f ∈ O(Sp A (a)) et g(f (a)) = (g ◦ f )(a).
Ceci résulte du th. 4.
Proposition 9. — Soient A une algèbre de Banach unifère et a ∈ A.
Soient U un voisinage ouvert de Sp A (a) et f ∈ O(U). Soit de plus
V un voisinage compact de Sp A (a) contenu dans U tel que V est une
pièce de U de bord orienté ∂V.
Pour tout entier n 0, l’application z → f (z)(z − a) −n−1 est continue sur ∂V, la forme différentielle z → f (z)(z−a) −n−1 dz est intégrable
sur ∂V et on a
(7)
f
(n) (a) =
n!
2iπ
∂V
f (z)(z − a)
−n−1 dz
où f (n) ∈ O(U) est la n-ème dérivée de f .
Procédons par récurrence sur n. Lorsque n = 0, le résultat résulte
de la prop. 1 de I, p. 61. Supposons maintenant que l’assertion de la
proposition est vraie pour l’entier n 𚵿 0. Soit g ∈ O(C Sp A (a); A)
la fonction holomorphe définie par g(z) = (z − a) −n−1 f (z). La forme
différentielle g (z)dz = dg est de classe C 1 ; comme la pièce V est
compacte, la formule de Stokes (VAR, R2, p. 47, 11.2.3) implique
∂V
g
(z)dz =
∂V
dg = 0.
Comme g (z) = (z −a) −n−1 f (z)−(n+1)(z −a) −n−2 f (z), en on déduit
∂V
f
(z)(z − a)
−n−1 dz = (n + 1)
∂V
f (z)(z − a)
−n−2 dz.
En appliquant l’hypothèse de récurrence à f , on obtient donc
2iπ
n!
f
(n+1) (a) = (n + 1)
∂V
f (z)(z − a)
−n−2 dz,
ce qui est l’assertion de la proposition pour l’entier n + 1. Cela conclut
la preuve.