TS I.74
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
9. Calcul fonctionnel holomorphe en une variable
Théorème 5. — Soit A une algèbre de Banach unifère, non nécessairement commutative. Soient a un élément de A et z le germe de la
fonction identique de C au voisinage de Sp A (a). Il existe un unique
morphisme unifère continu ϕ a de O(Sp A (a)) dans A tel que ϕ a (z) = a.
L’image de ϕ a est contenue dans la sous-algèbre fermée pleine de A
engendrée par a. En particulier, elle est contenue dans le bicommutant
de a.
Démontrons l’existence du morphisme ϕ a . Soit B la sous-algèbre
fermée pleine de A engendrée par a. Elle est commutative, et on a
Sp B (a) = Sp A (a) (I, p. 5, n
o 5). L’application Θ a du calcul fonctionnel holomorphe sur B est un morphisme unifère continu de O(Sp B (a))
dans B tel que Θ a (z) = a (théorème 1 de I, p. 51). Le morphisme composé de Θ a et de l’injection canonique de B dans A est un morphisme
unifère continu ϕ a de O(Sp A (a)) dans A tel que l’image de z est a.
Démontrons l’unicité. Soit ϕ
a un morphisme unifère continu de
O(Sp A (a)) dans A tel que ϕ
a (z) = a. Alors ϕ a et ϕ
a coïncident sur
l’ensemble des germes de polynômes au voisinage de Sp A (a), donc sur
l’ensemble des germes de fractions rationnelles holomorphes au voisinage de Sp A (a). Or ces germes sont denses dans O(Sp A (a)) (I, p. 69,
th. 3). Cela implique que ϕ a = ϕ
a .
La construction de ϕ a démontre que son image est contenue dans
la sous-algèbre commutative B, qui est contenue dans le bicommutant
de a (I, p. 6).
Si le radical de l’algèbre A est nul, l’unicité du morphisme ϕ a est
valide sans requérir qu’il soit continu (cf. prop. 9 de I, p. 40). Ce n’est
pas le cas en général, cf. G. R. Allan, Embedding the algebra of formal power series in a Banach algebra, Proc. London Math. Soc. (3) 25
(1972), 329–340.
Pour toute algèbre de Banach A, tout élément a de A et tout germe
f ∈ O(Sp A (a)), on note f (a) l’élément ϕ a (f ) du théorème 5. Si A
est une algèbre de Banach commutative, cet élément f (a) coïncide
avec l’élément f (a) fourni par le calcul fonctionnel holomorphe sur
une algèbre de Banach commutative (théorème 1 de I, p. 51).
Soit B la sous-algèbre fermée pleine de A engendrée par a, de sorte
que Sp A (a) = Sp B (a). L’élément f (a) de A appartient à B, et coïncide
avec l’élément f (a) calculé relativement à l’algèbre B.
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
9. Calcul fonctionnel holomorphe en une variable
Théorème 5. — Soit A une algèbre de Banach unifère, non nécessairement commutative. Soient a un élément de A et z le germe de la
fonction identique de C au voisinage de Sp A (a). Il existe un unique
morphisme unifère continu ϕ a de O(Sp A (a)) dans A tel que ϕ a (z) = a.
L’image de ϕ a est contenue dans la sous-algèbre fermée pleine de A
engendrée par a. En particulier, elle est contenue dans le bicommutant
de a.
Démontrons l’existence du morphisme ϕ a . Soit B la sous-algèbre
fermée pleine de A engendrée par a. Elle est commutative, et on a
Sp B (a) = Sp A (a) (I, p. 5, n
o 5). L’application Θ a du calcul fonctionnel holomorphe sur B est un morphisme unifère continu de O(Sp B (a))
dans B tel que Θ a (z) = a (théorème 1 de I, p. 51). Le morphisme composé de Θ a et de l’injection canonique de B dans A est un morphisme
unifère continu ϕ a de O(Sp A (a)) dans A tel que l’image de z est a.
Démontrons l’unicité. Soit ϕ
a un morphisme unifère continu de
O(Sp A (a)) dans A tel que ϕ
a (z) = a. Alors ϕ a et ϕ
a coïncident sur
l’ensemble des germes de polynômes au voisinage de Sp A (a), donc sur
l’ensemble des germes de fractions rationnelles holomorphes au voisinage de Sp A (a). Or ces germes sont denses dans O(Sp A (a)) (I, p. 69,
th. 3). Cela implique que ϕ a = ϕ
a .
La construction de ϕ a démontre que son image est contenue dans
la sous-algèbre commutative B, qui est contenue dans le bicommutant
de a (I, p. 6).
Si le radical de l’algèbre A est nul, l’unicité du morphisme ϕ a est
valide sans requérir qu’il soit continu (cf. prop. 9 de I, p. 40). Ce n’est
pas le cas en général, cf. G. R. Allan, Embedding the algebra of formal power series in a Banach algebra, Proc. London Math. Soc. (3) 25
(1972), 329–340.
Pour toute algèbre de Banach A, tout élément a de A et tout germe
f ∈ O(Sp A (a)), on note f (a) l’élément ϕ a (f ) du théorème 5. Si A
est une algèbre de Banach commutative, cet élément f (a) coïncide
avec l’élément f (a) fourni par le calcul fonctionnel holomorphe sur
une algèbre de Banach commutative (théorème 1 de I, p. 51).
Soit B la sous-algèbre fermée pleine de A engendrée par a, de sorte
que Sp A (a) = Sp B (a). L’élément f (a) de A appartient à B, et coïncide
avec l’élément f (a) calculé relativement à l’algèbre B.