N
o 8
SUBSTITUTION DANS LE CALCUL FONCTIONNEL
TS I.73
La première assertion concernant l’image de Sp
n (a) résulte du cor. 2
de I, p. 67. Pour démontrer la seconde, nous utiliserons le lemme suivant.
Lemme 12. — Soit K l’enveloppe polynomialement convexe de
Sp
p (f (a)). On a g(f (a)) = (g ◦ f )(a) pour tout germe g ∈ O(K; A).
Soit Ψ l’application de O(K; A) dans A telle que Ψ(g) = (g ◦ f )(a).
C’est un morphisme unifère continu, tel que Ψ(z j ) = f j (a), où z j est
le germe de la j-ème fonction coordonnée sur C p . Lorsque g est le
germe d’une fonction polynomiale, on a donc Ψ(g) = g(f (a)). D’après
le th. 2 de I, p. 68, cette formule reste valide pour tout g ∈ O(K; A).
Démontrons maintenant le théorème. Soient V un voisinage ouvert
de Sp
p (f (a)) et
g ∈ O(V; A) une fonction holomorphe dont le germe au
voisinage de Sp
p (f (a)) est égal à g. Soient b ∈ C p+q un enveloppement
de (f (a), V) (lemme 11 de I, p. 70) et π : V × C q → V la projection
canonique.
Soient
f 1 , . . . ,
f p des fonctions holomorphes dont les germes
sont f 1 , . . . , f p et soit U un voisinage ouvert de Sp
n (a) tel que
(
f 1 , . . . ,
f p )(U) ⊂ V. Soit π la projection canonique de U × C q sur U.
Notons z n+1 , . . . , z n+q les q dernières fonctions coordonnées sur C n+q .
Notons h =
g ◦ (
f 1 , . . . ,
f p ) et
c = (a 1 , . . . , a n , b p+1 , . . . , b p+q ) ∈ A
n+q .
L’application
g ◦ π est holomorphe dans le voisinage ouvert V × C q
de l’enveloppe polynomialement convexe L de Sp
p+q (b). D’après le
lemme 12, appliqué à c, aux germes au voisinage de L des fonctions
(
f 1 ◦ π
, . . . ,
f p ◦ π
, z n+1 , . . . , z n+q ),
et au germe de
g ◦ π, on a
(g ◦ π)
(f 1 ◦ π
)(c), . . . , (f p ◦ π
)(c), z n+1 (c), . . . , z n+q (c)
= (h ◦ π
)(c).
Comme π (c) = a, on a (h ◦ π )(c) = h(a) et (f i ◦ π )(c) = f i (a)
pour 1 i p (propriété (CF3) du calcul fonctionnel holomorphe).
Comme, de plus, z n+j (c) = b p+j pour 1 j q (propriété (CF2)), on
a
(g ◦ π)(f 1 (a), . . . , f p (a), b p+1 , . . . , b p+q ) = h(a),
dont on déduit g(f 1 (a), . . . , f p (a)) = h(a) en appliquant de nouveau
la propriété (CF3).
o 8
SUBSTITUTION DANS LE CALCUL FONCTIONNEL
TS I.73
La première assertion concernant l’image de Sp
n (a) résulte du cor. 2
de I, p. 67. Pour démontrer la seconde, nous utiliserons le lemme suivant.
Lemme 12. — Soit K l’enveloppe polynomialement convexe de
Sp
p (f (a)). On a g(f (a)) = (g ◦ f )(a) pour tout germe g ∈ O(K; A).
Soit Ψ l’application de O(K; A) dans A telle que Ψ(g) = (g ◦ f )(a).
C’est un morphisme unifère continu, tel que Ψ(z j ) = f j (a), où z j est
le germe de la j-ème fonction coordonnée sur C p . Lorsque g est le
germe d’une fonction polynomiale, on a donc Ψ(g) = g(f (a)). D’après
le th. 2 de I, p. 68, cette formule reste valide pour tout g ∈ O(K; A).
Démontrons maintenant le théorème. Soient V un voisinage ouvert
de Sp
p (f (a)) et
g ∈ O(V; A) une fonction holomorphe dont le germe au
voisinage de Sp
p (f (a)) est égal à g. Soient b ∈ C p+q un enveloppement
de (f (a), V) (lemme 11 de I, p. 70) et π : V × C q → V la projection
canonique.
Soient
f 1 , . . . ,
f p des fonctions holomorphes dont les germes
sont f 1 , . . . , f p et soit U un voisinage ouvert de Sp
n (a) tel que
(
f 1 , . . . ,
f p )(U) ⊂ V. Soit π la projection canonique de U × C q sur U.
Notons z n+1 , . . . , z n+q les q dernières fonctions coordonnées sur C n+q .
Notons h =
g ◦ (
f 1 , . . . ,
f p ) et
c = (a 1 , . . . , a n , b p+1 , . . . , b p+q ) ∈ A
n+q .
L’application
g ◦ π est holomorphe dans le voisinage ouvert V × C q
de l’enveloppe polynomialement convexe L de Sp
p+q (b). D’après le
lemme 12, appliqué à c, aux germes au voisinage de L des fonctions
(
f 1 ◦ π
, . . . ,
f p ◦ π
, z n+1 , . . . , z n+q ),
et au germe de
g ◦ π, on a
(g ◦ π)
(f 1 ◦ π
)(c), . . . , (f p ◦ π
)(c), z n+1 (c), . . . , z n+q (c)
= (h ◦ π
)(c).
Comme π (c) = a, on a (h ◦ π )(c) = h(a) et (f i ◦ π )(c) = f i (a)
pour 1 i p (propriété (CF3) du calcul fonctionnel holomorphe).
Comme, de plus, z n+j (c) = b p+j pour 1 j q (propriété (CF2)), on
a
(g ◦ π)(f 1 (a), . . . , f p (a), b p+1 , . . . , b p+q ) = h(a),
dont on déduit g(f 1 (a), . . . , f p (a)) = h(a) en appliquant de nouveau
la propriété (CF3).