TS I.72
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
Remarquons que le th. 2 de I, p. 68 entraîne aussi le résultat d’unicité
suivant :
Proposition 6. — Soit a ∈ A n . On suppose Sp
n (a) polynomialement convexe. Soient z 1 , . . . , z n les germes au voisinage de Sp
n (a) des
fonctions coordonnées sur C n . Alors l’application Θ a est l’unique morphisme continu d’algèbres unifères ϕ de O(Sp
n (a); A) dans A tel que
ϕ(z 1 ) = a 1 , . . . , ϕ(z n ) = a n .
Le lemme 10 de I, p. 64 et le corollaire de la proposition 2 de I, p. 65
justifient les notations suivantes pour le calcul fonctionnel holomorphe.
Soient n 1 et a ∈ A n . Pour tout germe f ∈ O(K; A) (resp. pour
toute fonction holomorphe f ∈ O(U; A) sur un voisinage ouvert U de
Sp
n (a)), on pose
(6)
f (a) = Θ a (f ).
Cette notation est cohérente avec la notation introduite dans A, IV,
p. 4, n
o 3, si f est un polynôme, d’après les propriétés (CF1) et (CF2).
Les propriétés (CF2) et (CF3) de I, p. 51 peuvent alors s’écrire
z i (a) = a i , 1 i n,
(f ◦ π m,n )(a) = f (π m,n (a)).
8. Substitution dans le calcul fonctionnel
Avec les notations introduites ci-dessus, les énoncés du cor. 1 de I,
p. 66 et du cor. 2 de I, p. 67 deviennent respectivement
χ(g(a)) = g(χ(a 1 ), . . . , χ(a n )), Sp(g(a)) = g(Sp
n (a))
pour f ∈ O(Sp
n (a); A), χ ∈ X(A) et g ∈ O(Sp
n (a)).
Nous allons maintenant démontrer une propriété de substitution
plus générale.
Théorème 4. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative
complexe, soient n 1 un entier et a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . Soit f =
(f 1 , . . . , f p ) où f 1 , . . . , f p sont des éléments de O(Sp
n (a)). L’image de
Sp
n (a) par l’application z → f (z) = (f 1 (z), . . . , f p (z)) est égale à
Sp
p (f (a)).
Pour tout g ∈ O(Sp
p (f (a)); A), le germe composé g ◦ f est un
élément de O(Sp
n (a); A) et on a g(f (a)) = (g ◦ f )(a).
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
Remarquons que le th. 2 de I, p. 68 entraîne aussi le résultat d’unicité
suivant :
Proposition 6. — Soit a ∈ A n . On suppose Sp
n (a) polynomialement convexe. Soient z 1 , . . . , z n les germes au voisinage de Sp
n (a) des
fonctions coordonnées sur C n . Alors l’application Θ a est l’unique morphisme continu d’algèbres unifères ϕ de O(Sp
n (a); A) dans A tel que
ϕ(z 1 ) = a 1 , . . . , ϕ(z n ) = a n .
Le lemme 10 de I, p. 64 et le corollaire de la proposition 2 de I, p. 65
justifient les notations suivantes pour le calcul fonctionnel holomorphe.
Soient n 1 et a ∈ A n . Pour tout germe f ∈ O(K; A) (resp. pour
toute fonction holomorphe f ∈ O(U; A) sur un voisinage ouvert U de
Sp
n (a)), on pose
(6)
f (a) = Θ a (f ).
Cette notation est cohérente avec la notation introduite dans A, IV,
p. 4, n
o 3, si f est un polynôme, d’après les propriétés (CF1) et (CF2).
Les propriétés (CF2) et (CF3) de I, p. 51 peuvent alors s’écrire
z i (a) = a i , 1 i n,
(f ◦ π m,n )(a) = f (π m,n (a)).
8. Substitution dans le calcul fonctionnel
Avec les notations introduites ci-dessus, les énoncés du cor. 1 de I,
p. 66 et du cor. 2 de I, p. 67 deviennent respectivement
χ(g(a)) = g(χ(a 1 ), . . . , χ(a n )), Sp(g(a)) = g(Sp
n (a))
pour f ∈ O(Sp
n (a); A), χ ∈ X(A) et g ∈ O(Sp
n (a)).
Nous allons maintenant démontrer une propriété de substitution
plus générale.
Théorème 4. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative
complexe, soient n 1 un entier et a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . Soit f =
(f 1 , . . . , f p ) où f 1 , . . . , f p sont des éléments de O(Sp
n (a)). L’image de
Sp
n (a) par l’application z → f (z) = (f 1 (z), . . . , f p (z)) est égale à
Sp
p (f (a)).
Pour tout g ∈ O(Sp
p (f (a)); A), le germe composé g ◦ f est un
élément de O(Sp
n (a); A) et on a g(f (a)) = (g ◦ f )(a).