N
o 7
EXISTENCE ET UNICITÉ
TS I.71
converge vers f 1 (resp. vers f 2 ) dans O(K; A) (théorème 2 de I, p. 68),
donc dans O(Sp
n (a); A). Pour tout entier k, on a
Θ
U
a (f 1,k )Θ
U
a (f 2,k ) = Θ
U
a (f 1,k f 2,k )
d’après le lemme 10 de I, p. 64, d’où Θ U
a (f 1 )Θ U
a (f 2 ) = Θ U
a (f 1 f 2 ) en
passant à la limite.
Considérons le cas général. Soient a ∈ C n+p un enveloppement de
(a, U) (lemme 11) et π : U × C p → U la projection canonique. Puisque
U × C p contient l’enveloppe polynomialement convexe de Sp
n+p (a ),
on a
Θ
U×C p
a
(f 1 ◦ π)Θ
U×C p
a
(f 2 ◦ π) = Θ
U×C p
a
(f 1 f 2 ◦ π)
pour f 1 et f 2 dans O(U; A) d’après le premier cas. Comme, pour toute
fonction f ∈ O(U; A), on a Θ
U×C p
a
(f ◦ π) = Θ U
a (f ) (condition (CF3)
précédemment démontrée), la conclusion en découle, et donc la condition (CF1).
Nous pouvons maintenant démontrer le théorème 1 de I, p. 51. La
prop. 5 montre que la famille des applications (Θ a ) a est un calcul
fonctionnel holomorphe sur A. Il ne reste donc qu’à établir l’unicité
du calcul fonctionnel holomorphe sur A.
Soit (Ψ a ) a une famille d’applications définies pour tout entier n 1
et tout a ∈ A n et vérifiant les conditions (CF1), (CF2), (CF3) du calcul
fonctionnel holomorphe sur A (I, p. 51). Il suffit de prouver que pour
tout entier n 1, pour tout a ∈ A n et pour tout voisinage ouvert U
de a, on a Θ U
a = Ψ U
a .
Soient n 1 et a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . Soit U un voisinage ouvert
de Sp
n (a). Supposons d’abord que U contient l’enveloppe polynomialement convexe K de Sp
n (a). Les morphismes Θ U
a et Ψ U
a coïncident
sur les fonctions polynomiales d’après les propriétés (CF1) et (CF2).
D’après le corollaire du théorème 2 de I, p. 68 et la propriété de continuité (CF1), ces morphismes sont donc égaux.
Démontrons le cas général. Soient a ∈ C n+p un enveloppement de
(a, U) et π : U × C p → U la projection canonique. On a
Θ
U
a = Θ
U×C p
a
◦ π
∗ = Ψ
U×C p
a
◦ π
∗ = Ψ
U
a
d’après la propriété (CF3) et le cas précédent. Cela conclut la démonstration du théorème 1 de I, p. 51.
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EXISTENCE ET UNICITÉ
TS I.71
converge vers f 1 (resp. vers f 2 ) dans O(K; A) (théorème 2 de I, p. 68),
donc dans O(Sp
n (a); A). Pour tout entier k, on a
Θ
U
a (f 1,k )Θ
U
a (f 2,k ) = Θ
U
a (f 1,k f 2,k )
d’après le lemme 10 de I, p. 64, d’où Θ U
a (f 1 )Θ U
a (f 2 ) = Θ U
a (f 1 f 2 ) en
passant à la limite.
Considérons le cas général. Soient a ∈ C n+p un enveloppement de
(a, U) (lemme 11) et π : U × C p → U la projection canonique. Puisque
U × C p contient l’enveloppe polynomialement convexe de Sp
n+p (a ),
on a
Θ
U×C p
a
(f 1 ◦ π)Θ
U×C p
a
(f 2 ◦ π) = Θ
U×C p
a
(f 1 f 2 ◦ π)
pour f 1 et f 2 dans O(U; A) d’après le premier cas. Comme, pour toute
fonction f ∈ O(U; A), on a Θ
U×C p
a
(f ◦ π) = Θ U
a (f ) (condition (CF3)
précédemment démontrée), la conclusion en découle, et donc la condition (CF1).
Nous pouvons maintenant démontrer le théorème 1 de I, p. 51. La
prop. 5 montre que la famille des applications (Θ a ) a est un calcul
fonctionnel holomorphe sur A. Il ne reste donc qu’à établir l’unicité
du calcul fonctionnel holomorphe sur A.
Soit (Ψ a ) a une famille d’applications définies pour tout entier n 1
et tout a ∈ A n et vérifiant les conditions (CF1), (CF2), (CF3) du calcul
fonctionnel holomorphe sur A (I, p. 51). Il suffit de prouver que pour
tout entier n 1, pour tout a ∈ A n et pour tout voisinage ouvert U
de a, on a Θ U
a = Ψ U
a .
Soient n 1 et a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . Soit U un voisinage ouvert
de Sp
n (a). Supposons d’abord que U contient l’enveloppe polynomialement convexe K de Sp
n (a). Les morphismes Θ U
a et Ψ U
a coïncident
sur les fonctions polynomiales d’après les propriétés (CF1) et (CF2).
D’après le corollaire du théorème 2 de I, p. 68 et la propriété de continuité (CF1), ces morphismes sont donc égaux.
Démontrons le cas général. Soient a ∈ C n+p un enveloppement de
(a, U) et π : U × C p → U la projection canonique. On a
Θ
U
a = Θ
U×C p
a
◦ π
∗ = Ψ
U×C p
a
◦ π
∗ = Ψ
U
a
d’après la propriété (CF3) et le cas précédent. Cela conclut la démonstration du théorème 1 de I, p. 51.