TS I.70
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
7. Existence et unicité du calcul fonctionnel holomorphe
On suppose que A est une algèbre de Banach unifère complexe commutative.
Définition 2. — Soient n 1 un entier et a ∈ A n . Soit U un voisinage ouvert de Sp
n (a). On dit qu’une famille a est un enveloppement
de (a, U) si a ∈ C n+p prolonge a et si U × C p contient l’enveloppe
polynomialement convexe de Sp
n+p (a ).
Lemme 11. — Soit n 1 un entier. Soit a ∈ A n . Pour tout voisinage
ouvert U de Sp
n (a), il existe un enveloppement de (a, U).
Soit (a λ ) λ∈Λ une famille d’éléments de A prolongeant la famille a et engendrant topologiquement l’algèbre de Banach unifère
A. Soit π la projection canonique de C Λ sur C n et soit U = π −1 (U).
Alors U est un voisinage de Sp
Λ ((a λ )), et Sp
Λ ((a λ )) est polynomialement convexe (I, p. 44, lemme 4). D’après le lemme 6 de I,
p. 47, il existe une partie finie Λ 0 de Λ contenant {1, 2, . . . , n} telle
que pr Λ 0 (U ) contienne l’enveloppe polynomialement convexe S de
pr Λ 0 (Sp
Λ ((a λ ) λ∈Λ )) = Sp
Λ 0 ((a λ ) λ∈Λ 0 ). Soit p 0 l’entier tel que Λ 0
est de cardinal n + p, et soit j une bijection de {1, . . . , n + p} dans
Λ 0 qui coïncide avec l’application identique sur {1, . . . , n}. La projection de S étant contenue dans U, la famille (a j(k) ) 1kn+p est un
enveloppement de (a, U).
Proposition 5. — La donnée des applications Θ a , pour n 1 et
a ∈ A n , est un calcul fonctionnel holomorphe sur A, c’est-à-dire que
les conditions (CF1), (CF2) et (CF3) de I, p. 51 sont vérifiées.
Soient n 1 un entier et a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . L’application Θ a
vérifie Θ a (z i ) = a i pour tout i tel que 1 i n d’après le lemme 10
de I, p. 64, ce qui démontre la propriété (CF2). Le lemme 9 de I, p. 63
implique la propriété (CF3) des applications Θ a .
L’application Θ a est A-linéaire et continue (I, p. 61, n
o 5). Elle vérifie
Θ a (1) = 1 (lemme 9 de I, p. 63). Pour vérifier la condition (CF1), il
reste à établir que Θ a est un morphisme d’algèbres. Pour cela, on va
démontrer que Θ U
a est un morphisme d’algèbres pour tout voisinage
ouvert U de Sp
n (a).
Supposons d’abord que U contient l’enveloppe polynomialement
convexe K de Sp
n (a). Soient f 1 et f 2 des éléments de O(U; A). Il
existe une suite (f 1,k ) (resp. (f 2,k )) de fonctions polynomiales qui
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
7. Existence et unicité du calcul fonctionnel holomorphe
On suppose que A est une algèbre de Banach unifère complexe commutative.
Définition 2. — Soient n 1 un entier et a ∈ A n . Soit U un voisinage ouvert de Sp
n (a). On dit qu’une famille a est un enveloppement
de (a, U) si a ∈ C n+p prolonge a et si U × C p contient l’enveloppe
polynomialement convexe de Sp
n+p (a ).
Lemme 11. — Soit n 1 un entier. Soit a ∈ A n . Pour tout voisinage
ouvert U de Sp
n (a), il existe un enveloppement de (a, U).
Soit (a λ ) λ∈Λ une famille d’éléments de A prolongeant la famille a et engendrant topologiquement l’algèbre de Banach unifère
A. Soit π la projection canonique de C Λ sur C n et soit U = π −1 (U).
Alors U est un voisinage de Sp
Λ ((a λ )), et Sp
Λ ((a λ )) est polynomialement convexe (I, p. 44, lemme 4). D’après le lemme 6 de I,
p. 47, il existe une partie finie Λ 0 de Λ contenant {1, 2, . . . , n} telle
que pr Λ 0 (U ) contienne l’enveloppe polynomialement convexe S de
pr Λ 0 (Sp
Λ ((a λ ) λ∈Λ )) = Sp
Λ 0 ((a λ ) λ∈Λ 0 ). Soit p 0 l’entier tel que Λ 0
est de cardinal n + p, et soit j une bijection de {1, . . . , n + p} dans
Λ 0 qui coïncide avec l’application identique sur {1, . . . , n}. La projection de S étant contenue dans U, la famille (a j(k) ) 1kn+p est un
enveloppement de (a, U).
Proposition 5. — La donnée des applications Θ a , pour n 1 et
a ∈ A n , est un calcul fonctionnel holomorphe sur A, c’est-à-dire que
les conditions (CF1), (CF2) et (CF3) de I, p. 51 sont vérifiées.
Soient n 1 un entier et a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . L’application Θ a
vérifie Θ a (z i ) = a i pour tout i tel que 1 i n d’après le lemme 10
de I, p. 64, ce qui démontre la propriété (CF2). Le lemme 9 de I, p. 63
implique la propriété (CF3) des applications Θ a .
L’application Θ a est A-linéaire et continue (I, p. 61, n
o 5). Elle vérifie
Θ a (1) = 1 (lemme 9 de I, p. 63). Pour vérifier la condition (CF1), il
reste à établir que Θ a est un morphisme d’algèbres. Pour cela, on va
démontrer que Θ U
a est un morphisme d’algèbres pour tout voisinage
ouvert U de Sp
n (a).
Supposons d’abord que U contient l’enveloppe polynomialement
convexe K de Sp
n (a). Soient f 1 et f 2 des éléments de O(U; A). Il
existe une suite (f 1,k ) (resp. (f 2,k )) de fonctions polynomiales qui