N
o 6
THÉORÈMES D’APPROXIMATION
TS I.69
factorisant par O(K; A). Alors u 1 = u 2 si et seulement si u 1 et u 2 coïncident sur l’ensemble des restrictions à K des fonctions polynomiales
sur C n à coefficients dans A.
Corollaire 2. — Soit E un espace de Banach. Soit K une partie compacte polynomialement convexe de C n . Soit P l’ensemble des
germes au voisinage de K de fonctions polynomiales sur C n à valeurs
dans E. Alors tout élément de O(K; E) est limite d’une suite d’éléments
de P.
Munissons E de la multiplication définie par ab = 0 pour tous a et b
dans E (exemple 1 de I, p. 17). C’est une algèbre de Banach commutative. Soit A l’algèbre de Banach commutative unifère obtenue à partir
de E par adjonction d’un élément unité. Puisque l’application canonique O(K; A) → O(K; E) est continue, l’assertion résulte du théorème
de Oka-Weil appliqué à l’algèbre A.
Pour n = 1 et A = C, on a aussi le résultat suivant, qui sera précisé
par le corollaire 2 de I, p. 150.
Théorème 3 (Runge). — Soient K une partie compacte de C, et Q
l’ensemble des germes de fonctions rationnelles holomorphes au voisinage de K. Alors Q est dense dans O(K).
D’après la définition de la topologie sur O(K), il suffit de démontrer que pour tout voisinage ouvert U de K, et tout sous-ensemble
compact L de U, toute fonction f ∈ O(U) est limite de fonctions rationnelles continues sur L. On peut supposer que L est un voisinage
compact de K.
Soit Q l’ensemble des restrictions à L des fonctions rationnelles
sur C qui sont continues sur L, et soit C l’adhérence de Q dans C (L).
C’est une algèbre sans radical.
Soit z ∈ C l’application identique de L. Alors C est la sous-algèbre
fermée pleine de C (L) engendrée par z (lemme 2 de I, p. 6). On a donc
Sp C (z) = Sp C (L) (z) = L. On peut alors former l’élément c = Θ z (f )
de C. Puisque C est sans radical, l’application du cor. 1 de I, p. 66 aux
caractères g → g(w) de C, pour tout w ∈ L, montre que c coïncide
avec la restriction de f à L. Par définition de C, cela démontre que f |L
est limite uniforme sur L d’éléments de Q , et cela termine la preuve
du théorème.
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THÉORÈMES D’APPROXIMATION
TS I.69
factorisant par O(K; A). Alors u 1 = u 2 si et seulement si u 1 et u 2 coïncident sur l’ensemble des restrictions à K des fonctions polynomiales
sur C n à coefficients dans A.
Corollaire 2. — Soit E un espace de Banach. Soit K une partie compacte polynomialement convexe de C n . Soit P l’ensemble des
germes au voisinage de K de fonctions polynomiales sur C n à valeurs
dans E. Alors tout élément de O(K; E) est limite d’une suite d’éléments
de P.
Munissons E de la multiplication définie par ab = 0 pour tous a et b
dans E (exemple 1 de I, p. 17). C’est une algèbre de Banach commutative. Soit A l’algèbre de Banach commutative unifère obtenue à partir
de E par adjonction d’un élément unité. Puisque l’application canonique O(K; A) → O(K; E) est continue, l’assertion résulte du théorème
de Oka-Weil appliqué à l’algèbre A.
Pour n = 1 et A = C, on a aussi le résultat suivant, qui sera précisé
par le corollaire 2 de I, p. 150.
Théorème 3 (Runge). — Soient K une partie compacte de C, et Q
l’ensemble des germes de fonctions rationnelles holomorphes au voisinage de K. Alors Q est dense dans O(K).
D’après la définition de la topologie sur O(K), il suffit de démontrer que pour tout voisinage ouvert U de K, et tout sous-ensemble
compact L de U, toute fonction f ∈ O(U) est limite de fonctions rationnelles continues sur L. On peut supposer que L est un voisinage
compact de K.
Soit Q l’ensemble des restrictions à L des fonctions rationnelles
sur C qui sont continues sur L, et soit C l’adhérence de Q dans C (L).
C’est une algèbre sans radical.
Soit z ∈ C l’application identique de L. Alors C est la sous-algèbre
fermée pleine de C (L) engendrée par z (lemme 2 de I, p. 6). On a donc
Sp C (z) = Sp C (L) (z) = L. On peut alors former l’élément c = Θ z (f )
de C. Puisque C est sans radical, l’application du cor. 1 de I, p. 66 aux
caractères g → g(w) de C, pour tout w ∈ L, montre que c coïncide
avec la restriction de f à L. Par définition de C, cela démontre que f |L
est limite uniforme sur L d’éléments de Q , et cela termine la preuve
du théorème.