TS I.68
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
dans C (L; A). Désignons par ι l’injection de A sur la sous-algèbre normée de B formée des fonctions constantes.
Soient z 1 , . . . , z n les restrictions à L des fonctions coordonnées
sur C n ; ce sont des éléments de B 0 , et, en posant z = (z 1 , . . . , z n ), il
vient Sp
n
B 0 (z) = L d’après la prop. 15 de I, p. 47.
Soit f ∈ O(U; A). Par composition avec ι, la fonction f définit un
élément f B = ι ◦ f de O(U; B). Comme Sp
n
B (z) ⊂ Sp
n
B 0 (z) ⊂ U, on
peut former l’élément b = Θ z (f B ) de B. Soit w = (w 1 , . . . , w n ) ∈ L,
et soit ϕ le morphisme unifère continu g → g(w) de B dans A. On a
ϕ ◦ ι = Id A , de sorte que ϕ ◦ f B = f . Comme ϕ(z i ) = w i , la prop. 3 de
I, p. 66 implique ϕ(Θ z (f B )) = Θ w (ϕ ◦ f B ). On a donc
b(w) = ϕ(b) = ϕ(Θ z (f B )) = Θ w (ϕ ◦ f B ) = Θ w (f ) = f (w),
d’après le corollaire de la prop. 2 de I, p. 65. Ainsi, on a f |L = b ; en
particulier, f |L appartient à B. Cela démontre la proposition.
Théorème 2 (Oka–Weil). — Soient K une partie compacte polynomialement convexe de C n et P l’ensemble des germes au voisinage
de K de fonctions polynomiales sur C n à coefficients dans A. Alors
P est dense dans O(K; A). Plus précisément, tout élément de O(K; A)
est limite d’une suite d’éléments de P.
Considérons un élément de O(K; A), germe d’une fonction f ∈
O(U; A), où U est un voisinage ouvert de K. D’après le lemme 7 de I,
p. 48, il existe un voisinage compact L de K contenu dans U qui est
polynomialement convexe. Soit V l’intérieur de L ; c’est un voisinage
de K.
D’après la proposition précédente, il existe une suite (P k ) de fonctions polynomiales sur C n à coefficients dans A qui converge vers f |L
dans C (L; A). En particulier, la suite (P k ) converge vers f |V dans
O(V; A).
Par définition de la topologie sur O(K; A) (cf. EVT, II, p. 29,
prop. 5), l’application canonique de O(V; A) dans O(K; A) est continue. Par conséquent, la suite des germes au voisinage de K des fonctions P k converge vers le germe de f au voisinage de K dans l’espace O(K; A), ce qu’il fallait démontrer.
Corollaire 1. — Soit U un voisinage ouvert de K. Soient u 1 et u 2
des applications continues de O(U; A) dans un espace topologique X se
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
dans C (L; A). Désignons par ι l’injection de A sur la sous-algèbre normée de B formée des fonctions constantes.
Soient z 1 , . . . , z n les restrictions à L des fonctions coordonnées
sur C n ; ce sont des éléments de B 0 , et, en posant z = (z 1 , . . . , z n ), il
vient Sp
n
B 0 (z) = L d’après la prop. 15 de I, p. 47.
Soit f ∈ O(U; A). Par composition avec ι, la fonction f définit un
élément f B = ι ◦ f de O(U; B). Comme Sp
n
B (z) ⊂ Sp
n
B 0 (z) ⊂ U, on
peut former l’élément b = Θ z (f B ) de B. Soit w = (w 1 , . . . , w n ) ∈ L,
et soit ϕ le morphisme unifère continu g → g(w) de B dans A. On a
ϕ ◦ ι = Id A , de sorte que ϕ ◦ f B = f . Comme ϕ(z i ) = w i , la prop. 3 de
I, p. 66 implique ϕ(Θ z (f B )) = Θ w (ϕ ◦ f B ). On a donc
b(w) = ϕ(b) = ϕ(Θ z (f B )) = Θ w (ϕ ◦ f B ) = Θ w (f ) = f (w),
d’après le corollaire de la prop. 2 de I, p. 65. Ainsi, on a f |L = b ; en
particulier, f |L appartient à B. Cela démontre la proposition.
Théorème 2 (Oka–Weil). — Soient K une partie compacte polynomialement convexe de C n et P l’ensemble des germes au voisinage
de K de fonctions polynomiales sur C n à coefficients dans A. Alors
P est dense dans O(K; A). Plus précisément, tout élément de O(K; A)
est limite d’une suite d’éléments de P.
Considérons un élément de O(K; A), germe d’une fonction f ∈
O(U; A), où U est un voisinage ouvert de K. D’après le lemme 7 de I,
p. 48, il existe un voisinage compact L de K contenu dans U qui est
polynomialement convexe. Soit V l’intérieur de L ; c’est un voisinage
de K.
D’après la proposition précédente, il existe une suite (P k ) de fonctions polynomiales sur C n à coefficients dans A qui converge vers f |L
dans C (L; A). En particulier, la suite (P k ) converge vers f |V dans
O(V; A).
Par définition de la topologie sur O(K; A) (cf. EVT, II, p. 29,
prop. 5), l’application canonique de O(V; A) dans O(K; A) est continue. Par conséquent, la suite des germes au voisinage de K des fonctions P k converge vers le germe de f au voisinage de K dans l’espace O(K; A), ce qu’il fallait démontrer.
Corollaire 1. — Soit U un voisinage ouvert de K. Soient u 1 et u 2
des applications continues de O(U; A) dans un espace topologique X se