N
o 6
THÉORÈMES D’APPROXIMATION
TS I.67
Remarque. — Supposons que l’algèbre A soit sans radical. Soit
a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . D’après la prop. 8 de I, p. 38, l’application Θ U
a est l’unique application ϕ de O(U) dans A telle que
χ(ϕ(f )) = f (χ(a 1 ), . . . , χ(a n )) pour tout χ ∈ X(A) et toute fonction
f ∈ O(U).
Corollaire 2. — Soit p un entier 1. Pour toute famille
(f 1 , . . . , f p ) d’éléments de O(Sp
n (a)), on a
Sp
p ((Θ a (f 1 ), . . . , Θ a (f p ))) = (f 1 , . . . , f p )(Sp
n (a)).
En particulier, pour tout f ∈ O(Sp
n (a)), on a Sp(Θ a (f )) = f (Sp
n (a)).
Ceci résulte du cor. 1 et de la définition du spectre simultané.
Exemple. — Soit A l’algèbre de Banach complexe des fonctions sur
le cercle unité à série de Fourier absolument convergente (I, p. 19,
exemple 8). Soit ϕ ∈ A. Soit f un germe de fonction holomorphe
au voisinage de l’ensemble des valeurs de ϕ. Alors ψ = Θ ϕ (f ) est
une série de Fourier absolument convergente qui pour tout u ∈ U
vérifie ψ(u) = f (ϕ(u)) (cor. 1, appliqué aux caractères ϕ → ϕ(u)).
Autrement dit, la fonction f ◦ ϕ sur le cercle unité a également une
série de Fourier absolument convergente (« théorème de P. Lévy »).
Ce résultat généralise le théorème de Wiener (I, p. 38, exemple 4), qui
concerne le cas de la fonction f (z) = 1/z sur C {0} lorsque ϕ ne
s’annule pas.
6. Théorèmes d’approximation
Dans ce numéro, A est une algèbre de Banach unifère commutative
complexe.
Proposition 4. — Soit L une partie compacte polynomialement
convexe de C n et soit U un voisinage ouvert de L. Pour toute fonction f ∈ O(U; A), il existe une suite de fonctions polynomiales sur C n
à coefficients dans A qui converge vers f |L dans C (L; A).
On peut supposer que L n’est pas vide et que A n’est pas nulle.
Soit P (resp. P 0 ) l’ensemble des restrictions à L des fonctions polynomiales sur C n à coefficients dans A (resp. à coefficients dans C).
Soit B (resp. B 0 ) l’algèbre de Banach adhérence de P (resp. de P 0 )
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THÉORÈMES D’APPROXIMATION
TS I.67
Remarque. — Supposons que l’algèbre A soit sans radical. Soit
a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . D’après la prop. 8 de I, p. 38, l’application Θ U
a est l’unique application ϕ de O(U) dans A telle que
χ(ϕ(f )) = f (χ(a 1 ), . . . , χ(a n )) pour tout χ ∈ X(A) et toute fonction
f ∈ O(U).
Corollaire 2. — Soit p un entier 1. Pour toute famille
(f 1 , . . . , f p ) d’éléments de O(Sp
n (a)), on a
Sp
p ((Θ a (f 1 ), . . . , Θ a (f p ))) = (f 1 , . . . , f p )(Sp
n (a)).
En particulier, pour tout f ∈ O(Sp
n (a)), on a Sp(Θ a (f )) = f (Sp
n (a)).
Ceci résulte du cor. 1 et de la définition du spectre simultané.
Exemple. — Soit A l’algèbre de Banach complexe des fonctions sur
le cercle unité à série de Fourier absolument convergente (I, p. 19,
exemple 8). Soit ϕ ∈ A. Soit f un germe de fonction holomorphe
au voisinage de l’ensemble des valeurs de ϕ. Alors ψ = Θ ϕ (f ) est
une série de Fourier absolument convergente qui pour tout u ∈ U
vérifie ψ(u) = f (ϕ(u)) (cor. 1, appliqué aux caractères ϕ → ϕ(u)).
Autrement dit, la fonction f ◦ ϕ sur le cercle unité a également une
série de Fourier absolument convergente (« théorème de P. Lévy »).
Ce résultat généralise le théorème de Wiener (I, p. 38, exemple 4), qui
concerne le cas de la fonction f (z) = 1/z sur C {0} lorsque ϕ ne
s’annule pas.
6. Théorèmes d’approximation
Dans ce numéro, A est une algèbre de Banach unifère commutative
complexe.
Proposition 4. — Soit L une partie compacte polynomialement
convexe de C n et soit U un voisinage ouvert de L. Pour toute fonction f ∈ O(U; A), il existe une suite de fonctions polynomiales sur C n
à coefficients dans A qui converge vers f |L dans C (L; A).
On peut supposer que L n’est pas vide et que A n’est pas nulle.
Soit P (resp. P 0 ) l’ensemble des restrictions à L des fonctions polynomiales sur C n à coefficients dans A (resp. à coefficients dans C).
Soit B (resp. B 0 ) l’algèbre de Banach adhérence de P (resp. de P 0 )