TS I.66
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
qui est fini par hypothèse, donc la famille (c(k 1 , . . . , k n )a
k 1
1 · · · a kn
n ) est
absolument sommable.
Corollaire. — Supposons A non nulle. Soit a ∈ C n ⊂ A n . On a
Sp
n
A (a) = {a}. Pour tout germe f ∈ O({a}; A), on a Θ a (f ) = f (a).
Proposition 3. — Soient B une algèbre de Banach unifère commutative et ϕ un morphisme unifère continu de A dans B. Soit
a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . Posons b = (ϕ(a 1 ), . . . , ϕ(a n )), de sorte que
Sp
n
B (b) ⊂ Sp
n
A (a). Pour tout f ∈ O(Sp
n
A (a); A), on a
ϕ(Θ a (f )) = Θ b (ϕ ∗ (f )),
où ϕ ∗ (f ) désigne le germe de ϕ ◦ f au voisinage de Sp
n
B (b).
Il suffit de démontrer que pour tout voisinage ouvert U de Sp
n
A (a) et
tout f ∈ O(U; A), on a ϕ(Θ a (f )) = Θ b (ϕ ◦ f ), où ϕ ◦ f ∈ O(U; B). Soit
(h, u 1 , . . . , u n ) une suite adaptée à a, où le support de h est contenu
dans U (lemme 1 de I, p. 52 et lemme 3 de I, p. 54). Notons ω la forme
différentielle associée. Pour tout z ∈ C n , on a
n
j=1
(z j − b j )ϕ(u i (z)) = ϕ
n
j=1
(z j − a j )u j (z)
= 1 − h(z),
de sorte que la suite (h, ϕ ◦ u 1 , . . . , ϕ ◦ u n ) est adaptée à b. Soit ω la
forme différentielle associée. Notons µ la mesure de Lebesgue sur C n .
Soit f ∈ O(U; A). Écrivons ψ·µ la mesure vectorielle associée à la forme
différentielle f ω. La mesure vectorielle associée à la forme différentielle
(ϕ ◦ f ) ω
= (ϕ ◦ f ) d(ϕ ◦ u 1 ) ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ d(ϕ ◦ u n ) ∧ dz n
est égale à (ϕ ◦ ψ) · µ. Donc, d’après la formule (5), et INT, VI, §2,
n
o 2, prop. 2, on a
Θ b (ϕ ◦ f ) =
n!
(2iπ) n
U
(ϕ ◦ f ) µ =
n!
(2iπ) n ϕ
U
ψ µ
= ϕ(Θ a (f )),
comme il était demandé.
Corollaire 1. — Soient χ ∈ X(A) et a ∈ A n . Pour tout germe
f ∈ O(Sp
n (a)), on a χ(Θ a (f )) = f (χ(a 1 ), . . . , χ(a n )).
C’est une conséquence de la proposition 3, appliquée au morphisme
unifère continu χ : A → C (th. 1 de I, p. 29), et du corollaire de la
prop. 2, appliqué à l’algèbre de Banach C.
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
qui est fini par hypothèse, donc la famille (c(k 1 , . . . , k n )a
k 1
1 · · · a kn
n ) est
absolument sommable.
Corollaire. — Supposons A non nulle. Soit a ∈ C n ⊂ A n . On a
Sp
n
A (a) = {a}. Pour tout germe f ∈ O({a}; A), on a Θ a (f ) = f (a).
Proposition 3. — Soient B une algèbre de Banach unifère commutative et ϕ un morphisme unifère continu de A dans B. Soit
a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . Posons b = (ϕ(a 1 ), . . . , ϕ(a n )), de sorte que
Sp
n
B (b) ⊂ Sp
n
A (a). Pour tout f ∈ O(Sp
n
A (a); A), on a
ϕ(Θ a (f )) = Θ b (ϕ ∗ (f )),
où ϕ ∗ (f ) désigne le germe de ϕ ◦ f au voisinage de Sp
n
B (b).
Il suffit de démontrer que pour tout voisinage ouvert U de Sp
n
A (a) et
tout f ∈ O(U; A), on a ϕ(Θ a (f )) = Θ b (ϕ ◦ f ), où ϕ ◦ f ∈ O(U; B). Soit
(h, u 1 , . . . , u n ) une suite adaptée à a, où le support de h est contenu
dans U (lemme 1 de I, p. 52 et lemme 3 de I, p. 54). Notons ω la forme
différentielle associée. Pour tout z ∈ C n , on a
n
j=1
(z j − b j )ϕ(u i (z)) = ϕ
n
j=1
(z j − a j )u j (z)
= 1 − h(z),
de sorte que la suite (h, ϕ ◦ u 1 , . . . , ϕ ◦ u n ) est adaptée à b. Soit ω la
forme différentielle associée. Notons µ la mesure de Lebesgue sur C n .
Soit f ∈ O(U; A). Écrivons ψ·µ la mesure vectorielle associée à la forme
différentielle f ω. La mesure vectorielle associée à la forme différentielle
(ϕ ◦ f ) ω
= (ϕ ◦ f ) d(ϕ ◦ u 1 ) ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ d(ϕ ◦ u n ) ∧ dz n
est égale à (ϕ ◦ ψ) · µ. Donc, d’après la formule (5), et INT, VI, §2,
n
o 2, prop. 2, on a
Θ b (ϕ ◦ f ) =
n!
(2iπ) n
U
(ϕ ◦ f ) µ =
n!
(2iπ) n ϕ
U
ψ µ
= ϕ(Θ a (f )),
comme il était demandé.
Corollaire 1. — Soient χ ∈ X(A) et a ∈ A n . Pour tout germe
f ∈ O(Sp
n (a)), on a χ(Θ a (f )) = f (χ(a 1 ), . . . , χ(a n )).
C’est une conséquence de la proposition 3, appliquée au morphisme
unifère continu χ : A → C (th. 1 de I, p. 29), et du corollaire de la
prop. 2, appliqué à l’algèbre de Banach C.