N
o 5
PROPRIÉTÉS DES APPLICATIONS Θa
TS I.65
Par conséquent, pour toute fonction f ∈ O(U; A), on a
(z i − a i )f ω = f d(hβ ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n ) = d(f hβ ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n )
puisque f est holomorphe, de sorte que df ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n = 0. Appliquant la formule de Stokes (VAR, R2, p. 48, 11.2.4), on obtient
U
(z i − a i )f ω = 0, d’où
Θ a (z i f ) =
n!
(2iπ) n
U
z i f ω =
n!
(2iπ) n
U
a i f ω = a i Θ a (f )
d’après la formule (5). Le résultat en découle.
Proposition 2. — Soient 1 , . . . , , n des réels > 0 et soit U ⊂ C n le
polydisque produit des disques ouverts de centre 0 et de rayon i . Soit
(k 1 ,...,kn)∈N n
c(k 1 , . . . , k n )X
k 1
1 · · · X
kn
n ∈ A[[X 1 , . . . , X n ]]
une série formelle à coefficients dans A. Supposons que cette série
converge dans U, et notons f la fonction holomorphe dans U qui en
est la somme.
Soit a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n tel que (a i ) < < i pour 1 i n. Alors
Sp
n (a) ⊂ U, la famille (c(k 1 , . . . , k n )a
k 1
1 · · · a kn
n ) d’éléments de A est
absolument sommable, et
Θ a (f ) =
(k 1 ,...,kn)∈N n
c(k 1 , . . . , k n )a
k 1
1 · · · a
kn
n .
Pour tout caractère χ de A et tout entier i tel que 1 i n, on a
|χ(a i )| (a i ) < < i , donc Sp
n (a) ⊂ U par définition du spectre simultané. Soient z 1 , . . . , z n les restrictions à U des fonctions coordonnées
sur C n . Alors la famille (c(k 1 , . . . , k n )z
k 1
1 · · · z kn
n ) est sommable dans
O(U; A) et de somme f . Compte tenu du lemme 10 et de la continuité
de l’application Θ U
a , la famille (c(k 1 , . . . , k n )a
k 1
1 . . . a kn
n ) est donc sommable dans A et de somme Θ a (f ). Pour 1 i n, soit λ i un nombre
réel tel que (a i ) < λ i < < i . Il existe M i < +∞ tel que a k
i M i λ k
i
pour tout entier k 0. On a alors
(k 1 ,...,kn)∈N n
c(k 1 , . . . , k n )
k 1
1 · · · a
kn
n
M 1 · · · M n
(k 1 ,...,kn)∈N n
c(k 1 , . . . , k n ) λ
k 1
1 · · · λ
kn
n
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PROPRIÉTÉS DES APPLICATIONS Θa
TS I.65
Par conséquent, pour toute fonction f ∈ O(U; A), on a
(z i − a i )f ω = f d(hβ ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n ) = d(f hβ ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n )
puisque f est holomorphe, de sorte que df ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n = 0. Appliquant la formule de Stokes (VAR, R2, p. 48, 11.2.4), on obtient
U
(z i − a i )f ω = 0, d’où
Θ a (z i f ) =
n!
(2iπ) n
U
z i f ω =
n!
(2iπ) n
U
a i f ω = a i Θ a (f )
d’après la formule (5). Le résultat en découle.
Proposition 2. — Soient 1 , . . . , , n des réels > 0 et soit U ⊂ C n le
polydisque produit des disques ouverts de centre 0 et de rayon i . Soit
(k 1 ,...,kn)∈N n
c(k 1 , . . . , k n )X
k 1
1 · · · X
kn
n ∈ A[[X 1 , . . . , X n ]]
une série formelle à coefficients dans A. Supposons que cette série
converge dans U, et notons f la fonction holomorphe dans U qui en
est la somme.
Soit a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n tel que (a i ) < < i pour 1 i n. Alors
Sp
n (a) ⊂ U, la famille (c(k 1 , . . . , k n )a
k 1
1 · · · a kn
n ) d’éléments de A est
absolument sommable, et
Θ a (f ) =
(k 1 ,...,kn)∈N n
c(k 1 , . . . , k n )a
k 1
1 · · · a
kn
n .
Pour tout caractère χ de A et tout entier i tel que 1 i n, on a
|χ(a i )| (a i ) < < i , donc Sp
n (a) ⊂ U par définition du spectre simultané. Soient z 1 , . . . , z n les restrictions à U des fonctions coordonnées
sur C n . Alors la famille (c(k 1 , . . . , k n )z
k 1
1 · · · z kn
n ) est sommable dans
O(U; A) et de somme f . Compte tenu du lemme 10 et de la continuité
de l’application Θ U
a , la famille (c(k 1 , . . . , k n )a
k 1
1 . . . a kn
n ) est donc sommable dans A et de somme Θ a (f ). Pour 1 i n, soit λ i un nombre
réel tel que (a i ) < λ i < < i . Il existe M i < +∞ tel que a k
i M i λ k
i
pour tout entier k 0. On a alors
(k 1 ,...,kn)∈N n
c(k 1 , . . . , k n )
k 1
1 · · · a
kn
n
M 1 · · · M n
(k 1 ,...,kn)∈N n
c(k 1 , . . . , k n ) λ
k 1
1 · · · λ
kn
n