TS I.64
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
Comme g = f ◦ π, la formule (5) et le lemme 8 impliquent
Θ a,a (g) =
(n + 1)!
(2iπ) n+1
U×C
gω =
(n + 1)!
(2iπ) n+1
C
du n+1 ∧ dz n+1
×
U
f h du 1 ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ du n ∧ dz n
.
D’une part, on a
C
du n+1 ∧ dz n+1 = 2iπΘ
C
a n+1 (1) = 2iπ · 1
d’après le corollaire 5. D’autre part, la partie c) du lemme 4 de I, p. 54
et le fait que l’intégrale d’une forme fermée est nulle (VAR, R2, p. 48,
11.2.4) entraînent
(n + 1)
U
f hdu 1 ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ du n ∧ dz n =
U
f du 1 ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ du n ∧ dz n =
(2iπ) n
n!
Θ a (f ).
Ainsi on obtient
Θ a,a (g) =
(n + 1)!
(2iπ) n+1 ×
(2iπ) n
(n + 1)!
Θ a (f ) × 2iπ = Θ a (f ).
Finalement, la formule Θ a (1) = 1 résulte de ce qui précède et du
corollaire de la prop. 1.
Lemme 10. — Soit a ∈ A n . Soient g une fonction polynomiale sur C n
à coefficients dans A et f ∈ O(Sp
n (a); A). On a Θ a (gf ) = g(a)Θ a (f ).
En particulier, on a Θ a (g) = g(a).
D’après le lemme 9, il suffit de démontrer la première assertion.
Notons z 1 , . . . , z n les fonctions coordonnées sur C n . Puisque l’application Θ a est A-linéaire, il suffit de prouver l’assertion du lemme
lorsque g = z
e 1
1 · · · z en
n , où (e 1 , . . . , e n ) ∈ N n . Procédant par récurrence
sur e 1 + · · · + e n , on se ramène au cas où il existe un entier i tel que
1 i n et g = z i .
Soit U un voisinage ouvert de Sp
n (a). Soit (h, u 1 , . . . , u n ) une suite
adaptée à a telle que le support de h est contenu dans U (lemme 1 de
I, p. 52 et lemme 3 de I, p. 54), et soit ω la forme différentielle associée.
D’après le lemme 4, a) de I, p. 54, il existe une forme différentielle β
telle que
(z i − a i )ω = d(hβ ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n ).
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
Comme g = f ◦ π, la formule (5) et le lemme 8 impliquent
Θ a,a (g) =
(n + 1)!
(2iπ) n+1
U×C
gω =
(n + 1)!
(2iπ) n+1
C
du n+1 ∧ dz n+1
×
U
f h du 1 ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ du n ∧ dz n
.
D’une part, on a
C
du n+1 ∧ dz n+1 = 2iπΘ
C
a n+1 (1) = 2iπ · 1
d’après le corollaire 5. D’autre part, la partie c) du lemme 4 de I, p. 54
et le fait que l’intégrale d’une forme fermée est nulle (VAR, R2, p. 48,
11.2.4) entraînent
(n + 1)
U
f hdu 1 ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ du n ∧ dz n =
U
f du 1 ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ du n ∧ dz n =
(2iπ) n
n!
Θ a (f ).
Ainsi on obtient
Θ a,a (g) =
(n + 1)!
(2iπ) n+1 ×
(2iπ) n
(n + 1)!
Θ a (f ) × 2iπ = Θ a (f ).
Finalement, la formule Θ a (1) = 1 résulte de ce qui précède et du
corollaire de la prop. 1.
Lemme 10. — Soit a ∈ A n . Soient g une fonction polynomiale sur C n
à coefficients dans A et f ∈ O(Sp
n (a); A). On a Θ a (gf ) = g(a)Θ a (f ).
En particulier, on a Θ a (g) = g(a).
D’après le lemme 9, il suffit de démontrer la première assertion.
Notons z 1 , . . . , z n les fonctions coordonnées sur C n . Puisque l’application Θ a est A-linéaire, il suffit de prouver l’assertion du lemme
lorsque g = z
e 1
1 · · · z en
n , où (e 1 , . . . , e n ) ∈ N n . Procédant par récurrence
sur e 1 + · · · + e n , on se ramène au cas où il existe un entier i tel que
1 i n et g = z i .
Soit U un voisinage ouvert de Sp
n (a). Soit (h, u 1 , . . . , u n ) une suite
adaptée à a telle que le support de h est contenu dans U (lemme 1 de
I, p. 52 et lemme 3 de I, p. 54), et soit ω la forme différentielle associée.
D’après le lemme 4, a) de I, p. 54, il existe une forme différentielle β
telle que
(z i − a i )ω = d(hβ ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n ).