N
o 5
PROPRIÉTÉS DES APPLICATIONS Θa
TS I.63
d’où le résultat (INT VI, loc. cit.).
Lemme 9. — Soit a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . Soient p ∈ N et a =
(a n+1 , . . . , a n+p ) ∈ A p . Alors on a Θ (a,a ) ◦π ∗
n,n+p = Θ a . En particulier,
on a Θ a (1) = 1.
Comme on a π n,n+p = π n,n+1 ◦· · ·◦π n+p−1,n+p , il suffit de démontrer
la première assertion lorsque p = 1, ce qu’on suppose désormais. On
note simplement π = π n,n+1 . Il suffit alors de démontrer que, pour
tout voisinage ouvert U de Sp
n (a), et toute fonction f ∈ O(U; A), on
a Θ (a,a n+1 ) (f ◦ π) = Θ a (f ). Notons g = f ◦ π. Soit h (resp. h ) une
application de C n dans C (resp. de C dans C), indéfiniment dérivable,
égale à 1 au voisinage de Sp
n (a) (resp. de Sp(a )), à support compact
contenu dans U (resp. dans C). Il existe des applications (u 1 , . . . , u n )
de C n dans A, indéfiniment dérivables, telles que la suite (h, u 1 , . . . , u n )
est adaptée à a (lemme 3 de I, p. 54), et une application indéfiniment
dérivable u n+1 de C dans A telle que le couple (h , u n+1 ) est adapté à
a n+1 (loc. cit.)
Pour z ∈ C n et z n+1 ∈ C, notons h (z, z n+1 ) = h(z)h (z n+1 ) et
u
n+1 (z, z n+1 ) = h(z)u n+1 (z n+1 ). Les fonctions h et u
n+1 sont indéfiniment dérivables dans C n+1 . La fonction h est égale à 1 au voisinage
de Sp
n+1 (a, a n+1 ), et a support compact contenu dans U × C. Pour
tout w = (z, z n+1 ) ∈ C n+1 , on a
(z 1 − a 1 )(u 1 ◦ π)(w) + · · · + (z n − a n )(u n ◦ π)(w)
+ (z n+1 − a n+1 )u
n+1 (w) = 1 − h(z) + h(z)(1 − h
(z n+1 ))
= 1 − h
(w),
ce qui démontre que la suite (h , u 1 ◦ π, . . . , u n ◦ π, u
n+1 ) est adaptée
à (a, a n+1 ). Soit ω la forme différentielle associée.
La forme différentielle du 1 ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ du n ∧ dz n ∧ dh sur C n est de
degré 2n + 1, donc est nulle. Par suite
ω = d(u 1 ◦ π) ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ d(u n ◦ π) ∧ dz n ∧ du
n+1 ∧ dz n+1
= (h ◦ π)d(u 1 ◦ π) ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ d(u n ◦ π) ∧ dz n ∧ du n+1 ∧ dz n+1 .
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PROPRIÉTÉS DES APPLICATIONS Θa
TS I.63
d’où le résultat (INT VI, loc. cit.).
Lemme 9. — Soit a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n . Soient p ∈ N et a =
(a n+1 , . . . , a n+p ) ∈ A p . Alors on a Θ (a,a ) ◦π ∗
n,n+p = Θ a . En particulier,
on a Θ a (1) = 1.
Comme on a π n,n+p = π n,n+1 ◦· · ·◦π n+p−1,n+p , il suffit de démontrer
la première assertion lorsque p = 1, ce qu’on suppose désormais. On
note simplement π = π n,n+1 . Il suffit alors de démontrer que, pour
tout voisinage ouvert U de Sp
n (a), et toute fonction f ∈ O(U; A), on
a Θ (a,a n+1 ) (f ◦ π) = Θ a (f ). Notons g = f ◦ π. Soit h (resp. h ) une
application de C n dans C (resp. de C dans C), indéfiniment dérivable,
égale à 1 au voisinage de Sp
n (a) (resp. de Sp(a )), à support compact
contenu dans U (resp. dans C). Il existe des applications (u 1 , . . . , u n )
de C n dans A, indéfiniment dérivables, telles que la suite (h, u 1 , . . . , u n )
est adaptée à a (lemme 3 de I, p. 54), et une application indéfiniment
dérivable u n+1 de C dans A telle que le couple (h , u n+1 ) est adapté à
a n+1 (loc. cit.)
Pour z ∈ C n et z n+1 ∈ C, notons h (z, z n+1 ) = h(z)h (z n+1 ) et
u
n+1 (z, z n+1 ) = h(z)u n+1 (z n+1 ). Les fonctions h et u
n+1 sont indéfiniment dérivables dans C n+1 . La fonction h est égale à 1 au voisinage
de Sp
n+1 (a, a n+1 ), et a support compact contenu dans U × C. Pour
tout w = (z, z n+1 ) ∈ C n+1 , on a
(z 1 − a 1 )(u 1 ◦ π)(w) + · · · + (z n − a n )(u n ◦ π)(w)
+ (z n+1 − a n+1 )u
n+1 (w) = 1 − h(z) + h(z)(1 − h
(z n+1 ))
= 1 − h
(w),
ce qui démontre que la suite (h , u 1 ◦ π, . . . , u n ◦ π, u
n+1 ) est adaptée
à (a, a n+1 ). Soit ω la forme différentielle associée.
La forme différentielle du 1 ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ du n ∧ dz n ∧ dh sur C n est de
degré 2n + 1, donc est nulle. Par suite
ω = d(u 1 ◦ π) ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ d(u n ◦ π) ∧ dz n ∧ du
n+1 ∧ dz n+1
= (h ◦ π)d(u 1 ◦ π) ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ d(u n ◦ π) ∧ dz n ∧ du n+1 ∧ dz n+1 .