TS I.62
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
formule (z − a)
−1 = z
−1 (1 − z
−1 a)
−1 =
+∞
j=1
z
−j a
j−1 . La série converge
uniformément pour z ∈ ∂V. On a donc
Θ a (1) =
1
2iπ
+∞
j=1
a
j−1
∂V
z
−j dz = 1
puisque
∂V
z
j dz = 0
pour tout entier j = −1 et
∂V
z
−1 dz = 2iπ
(VAR, R2, p. 44, 10.4.5, et p. 47, 11.2.1, exemple).
Lemme 8. — Soit U un ouvert de C n . Soit ω 1 une forme différentielle
continue de degré n dans U à support compact et à valeurs dans A
(resp. ω 2 une forme différentielle continue de degré 2 dans C à support compact et à valeurs dans C). Notons π 1 et π 2 les projections
canoniques de U × C sur U et C. La forme différentielle π ∗
1 ω 1 ∧ π ∗
2 ω 2
sur U × C est continue à support compact et à valeurs dans A. On a
U×C
π
∗
1 ω 1 ∧ π
∗
2 ω 2 =
C
ω 2
U
ω 1
.
Soient µ n la mesure de Lebesgue sur C n et µ 1 la mesure de Lebesgue
sur C. Il existe ψ 1 ∈ K (U; A) et ψ 2 ∈ K (C) tels que la mesure
vectorielle associée à ω 1 est égale à ψ 1 · µ n , et la mesure vectorielle
associée à ω 2 est égale à ψ 2 · µ 1 . La mesure vectorielle associée à la
forme différentielle π ∗
1 ω 1 ∧ π ∗
2 ω 2 est (ψ 1 ⊗ ψ 2 ) · µ n ⊗ µ 1 .
Soit une forme linéaire continue sur A. D’après INT, VI, §2, n
o 2,
déf. 2 et la définition de la mesure produit (INT, III, §4, n
o 1, déf. 1),
il vient
U×C
π
∗
1 ω 1 ∧ π
∗
2 ω 2
=
U×C
◦ (ψ 1 ⊗ ψ 2 ) µ n ⊗ µ 1
=
U×C
ψ 2 (z)(ψ 1 (x))dµ n (x)dµ 1 (z)
=
C
ψ 2 (z)dµ 1 (z)
U
(ψ 1 (x))dµ n (x)
=
C
ψ 2 µ 1
U
ψ 1 µ n
,