N
o 5
PROPRIÉTÉS DES APPLICATIONS Θa
TS I.61
pour tout ouvert U et tout représentant
f ∈ O(U; A) d’un germe
f ∈ O(Sp
n (a); A). L’application linéaire Θ a est continue d’après l’inégalité (4) et EVT, II, p. 29, prop. 5.
5. Propriétés des applications Θ a
On rappelle (VAR, R2, p. 46 et p. 47, 11.1.3, d)) que si K est une
partie compacte de C, il existe un système fondamental de voisinages
compacts V de K qui sont des pièces de C (c’est-à-dire, pour tout
x ∈ V, il existe une carte (U, ϕ, C) de C en x tel que ϕ(U ∩ K) est un
ouvert d’un demi-espace fermé de C). On note alors ∂V le bord de la
pièce V muni de l’orientation déduite de l’orientation de C (VAR, R2,
p. 47) et dz la différentielle de l’injection ∂V → C.
Proposition 1. — Soit a un élément de A, soit U un voisinage ouvert
de Sp(a), et soit f ∈ O(U; A). Soit V un voisinage compact de Sp(a)
contenu dans U et tel que V soit une pièce de C.
Alors z → f (z)(z − a) −1 est continue sur ∂V, la forme différentielle
f (z)(z − a) −1 dz est intégrable sur ∂V et on a
Θ a (f ) =
1
2iπ
∂V
f (z)(z − a)
−1 dz.
Soit h une application de C dans C, indéfiniment dérivable, égale
à 1 au voisinage de Sp(a) et à support compact contenu dans l’intérieur
de V (lemme 1 de I, p. 52). Soit u une application de C dans A telle que
(h, u) est adaptée à a (cf. exemple 3 de I, p. 53). La forme différentielle
associée est ω = du ∧ dz. Il vient f ω = f du ∧ dz = d(f u dz) puisque f
est holomorphe. De plus, u(z) = (z−a) −1 sur le bord de V. Par ailleurs,
la forme différentielle f u dz est de classe C 1 sur U. Donc
2iπΘ a (f ) =
V
d(f u dz) =
∂V
f u dz =
∂V
f (z)(z − a)
−1 dz
d’après la formule (5) et la formule de Stokes pour la pièce V (VAR,
R2, p. 47, 11.2.3).
Corollaire. — Soit a ∈ A. On a Θ a (1) = 1.
Soit R > >(a) un nombre réel. Soit V le disque fermé de centre 0
et de rayon R, de sorte que Sp(a) ⊂ ˚
V. C’est une pièce de C dont le
bord ∂V est le cercle de centre 0 et de rayon R. Pour z ∈ C ˚
V, on a la
o 5
PROPRIÉTÉS DES APPLICATIONS Θa
TS I.61
pour tout ouvert U et tout représentant
f ∈ O(U; A) d’un germe
f ∈ O(Sp
n (a); A). L’application linéaire Θ a est continue d’après l’inégalité (4) et EVT, II, p. 29, prop. 5.
5. Propriétés des applications Θ a
On rappelle (VAR, R2, p. 46 et p. 47, 11.1.3, d)) que si K est une
partie compacte de C, il existe un système fondamental de voisinages
compacts V de K qui sont des pièces de C (c’est-à-dire, pour tout
x ∈ V, il existe une carte (U, ϕ, C) de C en x tel que ϕ(U ∩ K) est un
ouvert d’un demi-espace fermé de C). On note alors ∂V le bord de la
pièce V muni de l’orientation déduite de l’orientation de C (VAR, R2,
p. 47) et dz la différentielle de l’injection ∂V → C.
Proposition 1. — Soit a un élément de A, soit U un voisinage ouvert
de Sp(a), et soit f ∈ O(U; A). Soit V un voisinage compact de Sp(a)
contenu dans U et tel que V soit une pièce de C.
Alors z → f (z)(z − a) −1 est continue sur ∂V, la forme différentielle
f (z)(z − a) −1 dz est intégrable sur ∂V et on a
Θ a (f ) =
1
2iπ
∂V
f (z)(z − a)
−1 dz.
Soit h une application de C dans C, indéfiniment dérivable, égale
à 1 au voisinage de Sp(a) et à support compact contenu dans l’intérieur
de V (lemme 1 de I, p. 52). Soit u une application de C dans A telle que
(h, u) est adaptée à a (cf. exemple 3 de I, p. 53). La forme différentielle
associée est ω = du ∧ dz. Il vient f ω = f du ∧ dz = d(f u dz) puisque f
est holomorphe. De plus, u(z) = (z−a) −1 sur le bord de V. Par ailleurs,
la forme différentielle f u dz est de classe C 1 sur U. Donc
2iπΘ a (f ) =
V
d(f u dz) =
∂V
f u dz =
∂V
f (z)(z − a)
−1 dz
d’après la formule (5) et la formule de Stokes pour la pièce V (VAR,
R2, p. 47, 11.2.3).
Corollaire. — Soit a ∈ A. On a Θ a (1) = 1.
Soit R > >(a) un nombre réel. Soit V le disque fermé de centre 0
et de rayon R, de sorte que Sp(a) ⊂ ˚
V. C’est une pièce de C dont le
bord ∂V est le cercle de centre 0 et de rayon R. Pour z ∈ C ˚
V, on a la