TS I.60
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
De plus, pour tout a ∈ A et tout f ∈ C (U; A), on a
U
(af )ω = a
U
f ω
(INT, VI, §2, n
o 2, prop. 2 appliqué à la multiplication par a).
Soit (h , u
1 , . . . , u
n ) une suite adaptée à a telle que Supp(h ) ⊂ U.
Soit ω la forme différentielle associée. D’après le lemme 6 de I, p. 57,
il existe une forme différentielle ψ sur C n de degré n − 1, à coefficients
dans A et à support contenu dans Supp(h) ∪ Supp(h ) ⊂ U, telle que
ω − ω
= d(ψ ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n ).
Soit f ∈ O(U; A). L’application f étant holomorphe, on a
df =
n
i=1
∂f
∂z i
dz i ,
(VAR, R2, p. 24, 8.8.9) et donc
f (ω − ω
) = f d(ψ ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n ) = d(f ψ ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n ).
D’après la formule de Stokes (VAR, R2, p. 48, 11.2.3), on a alors
U
f (ω − ω
) = 0.
Ainsi l’élément
U f ω ne dépend pas du choix de la suite (h, u 1 , . . . , u n ).
Démontrons pour conclure que
U f ω ne dépend que du germe de
f au voisinage de Sp
n (a). Soient U et U des voisinages ouverts de
Sp
n (a). Soient f ∈ O(U; A) et f ∈ O(U ; A) telles que f et f coïncident sur un voisinage ouvert U de Sp
n (a). Il existe une application
h de C n dans C, indéfiniment dérivable, égale à 1 au voisinage de
Sp
n (a), et à support compact inclus dans U (lemme 1 de I, p. 52), et
il existe (u 1 , . . . , u n ) telle que la suite (h, u 1 , . . . , u n ) est adaptée à a
(lemme 3 de I, p. 54). Soit ω la forme différentielle associée. Comme
Supp(ω) ⊂ Supp(h) ⊂ U (lemme 4, b) de I, p. 54), on a
U
f ω =
U
f ω =
U
f
ω =
U
f
ω,
ce qui achève la démonstration.
Ce lemme démontre qu’il existe une unique application Alinéaire Θ a de O(Sp
n (a); A) dans A telle que
(5)
Θ a (f ) =
n!
(2iπ) n
U
f ω