N
o 4
CONSTRUCTION DES APPLICATIONS Θa
TS I.59
applications indéfiniment dérivables (u 1 , . . . , u n ) de C n dans A telles
que la suite (h, u 1 , . . . , u n ) soit adaptée à a. Soit ω la forme différentielle associée ; elle est à support compact contenu dans U (lemme 4
de I, p. 54). Il existe une fonction indéfiniment dérivable ψ à support
compact dans U et à valeurs dans A telle que
ω = ψ dx 1 ∧ dy 1 ∧ · · · ∧ dx n ∧ dy n
où x j + iy j sont les fonctions coordonnées sur C n , identifié avec R 2n .
Soit µ la mesure de Lebesgue sur R 2n .
Soit f ∈ C (U; A). La forme différentielle f ω|U sur U est continue
et à support compact. La mesure vectorielle associée à cette forme
différentielle (VAR, R2, 10.4.3 et 10.4.4) est la mesure vectorielle f ψ·µ ;
c’est une mesure de base µ (INT, VI, §2, n
o 4, déf. 4), son support est
compact et contenu dans le support de ω. Cette mesure est majorable
relativement à la norme de A (INT, VI, §2, n
o 4, prop. 8) ; on note
f ω la mesure positive sur C n qui lui est associée (INT, VI, §2, n
o 3,
déf. 3).
D’après INT, VI, §2, n
o 4, prop. 8, b), on a
f ω = f ψ · µ = f ψ · µ = f
En particulier, l’intégrale de la forme différentielle f ω sur U vérifie
U
f ω
U
(INT, VI, §2, n
o 3, prop. 5).
Lemme 7. — Pour toute fonction f ∈ O(U; A), l’intégrale
U f ω est
un élément de A qui ne dépend que de a et du germe de f au voisinage
de Sp
n (a). Il vérifie l’inégalité
(4)
U
f ω
𵫿
U
ω
sup
z∈Supp(h)
f (z),
et
U
(af )ω = a
U
f ω
pour tout a ∈ A.
On a vu ci-dessus que l’intégrale est définie pour f ∈ C (U; A) et
vérifie
U
f ω
U
f
U
ω
sup
z∈Supp(h)
f (z).