TS I.58
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
En effet, pour tout entier k tel que 1 k n, la k-ème composante
du membre de droite est
u k +
k−1
i=1
(z i − a i )w ki +
n
j=k+1
(z j − a j )w kj = u k +
n
i=1
(z i − a i )w ki
= u k + u
k
n
i=1
(z i − a i )u i − u k
n
i=1
(z i − a i )u
i
= u k + (1 − h)u
k − (1 − h
)u k = u
k − s k .
Par récurrence, on déduit du lemme 5, appliqué aux entiers i et j
et aux applications w ij , que la suite (h, u
1 , . . . , u
n ) est adaptée à a
et est liée à (h, u 1 , . . . , u n ). Soit ω la forme différentielle associée à
(h, u
1 , . . . , u
n ). Comme u
i = u
i − s i , on a
ω
− ω
= d(u
1 − s 1 ) ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ d(u
n − s n ) ∧ dz n −
du
1 ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ du
n ∧ dz n ,
qui s’exprime comme une combinaison linéaire, avec coefficients 1
ou −1, de formes différentielles de la forme
ξ I 1 ,I 2 =
i∈I 1
ds i ∧
i∈I 2
du
i ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n ,
où I 1 (resp. I 2 ) est une partie non vide (resp. une partie) de {1, . . . , n}.
Chaque forme différentielle ξ I 1 ,I 2 s’écrit aussi sous la forme
d(
ψ ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n ),
où le support de la forme différentielle
ψ est contenu dans le support
de s i pour tout i ∈ I 1 . Comme I 1 est non-vide, ce support est contenu
dans Supp(h) ∪ Supp(h ). Par conséquent, (h, u
1 , . . . , u
n ) est liée à
(h , u
1 , . . . , u
n ), et le lemme en résulte en écrivant
ω − ω
= (ω − ω
) + (ω
− ω
).
4. Construction des applications Θ a
Soit a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n et soit U un voisinage ouvert de Sp
n (a).
Soit h une application indéfiniment dérivable, égale à 1 au voisinage
de Sp
n (a) et telle que le support de h soit compact et contenu dans
U (lemme 1 de I, p. 52). D’après le lemme 3 de I, p. 54, il existe des