N
o 3
SUITES ADAPTÉES ET FORMES DIFFÉRENTIELLES
TS I.57
pour tout z ∈ C n , la suite (h, u
1 , . . . , u
n ) est adaptée à a. De plus,
on a
du
i ∧ du
j ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dz n =
du i + w dz j + (z j − a j )dw
∧
du j − w dz i − (z i − a i )dw
∧ dz
=
du i ∧ du j − (z i − a i ) du i ∧ dw − (z j − a j ) du j ∧ dw
∧ dz
Il existe donc ε ∈ {−1, 1} tel que ε(ω − ω ) est égal à
du
i ∧ du
j ∧
k =i,j
du
k ∧ dz − du i ∧ du j ∧
k =i,j
du k ∧ dz
= −
(z i − a i )du i ∧ dw + (z j − a j )du j ∧ dw
∧
k =i,j
du k ∧ dz
= −
n
k=1
(z k − a k ) du k
∧ dw ∧
k =i,j
du k ∧ dz
et, compte tenu de (2), ceci est égal à
dh ∧ dw ∧
k =i,j
du k ∧ dz = d
h dw ∧
k =i,j
du k ∧ dz
,
d’où le résultat.
Lemme 6. — Soit a ∈ A n . Toutes les suites adaptées à a sont liées.
Soient (h, u 1 , . . . , u n ) et (h , u
1 , . . . , u
n ) des suites adaptées à a, et
notons ω et ω les formes différentielles associées.
Définissons les applications indéfiniment dérivables
w ij = u
i u j − u i u
j ,
1 i n, 1 j n,
s i = u
i h − u i h
,
1 i n,
de sorte que w ji = −w ij , et Supp(s i ) ⊂ Supp(h) ∪ Supp(h ).
Posons u
i = u
i − s i , u = (u 1 , . . . , u n ) et u = (u
1 , . . . , u
n ). Notons
aussi v ij l’application de C n dans A n dont la i-ème composante est
(z j −a j ) w ij , dont la j-ème composante est (z i −a i ) w ji = −(z i −a i ) w ij ,
et dont les autres composantes sont nulles. Alors on a
u
= u +
i v ij .